本文關(guān)鍵詞：幾類復(fù)系統(tǒng)分形的特性分析與控制　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,多個(gè)學(xué)科中都涌現(xiàn)出諸多非線性現(xiàn)象,非線性動(dòng)力學(xué)因此而生.混沌,分形,孤立子被認(rèn)為是幾類典型的非線性現(xiàn)象且彼此之間密切相關(guān).分形集可由多種方式產(chǎn)生,其中復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的分形現(xiàn)象尤為典型,被廣泛研究并應(yīng)用在物理,生物,圖像加密,地質(zhì)學(xué)等交叉學(xué)科中.經(jīng)典復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)可產(chǎn)生兩類分形集：Julia集和Mandelbrot集.利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和復(fù)分析等手段,這兩類分形集已在圖像可視化、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析、特性分析、擾動(dòng)分析、控制等理論層面得到廣泛研究.如上所述,復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的分形集能準(zhǔn)確描述一些自然形態(tài)或進(jìn)程,并在圖像處理等領(lǐng)域有較強(qiáng)的應(yīng)用背景,因此人們開(kāi)始有意識(shí)的去探索一些更一般化的復(fù)系統(tǒng)所產(chǎn)生的分形集.如交替迭代下的復(fù)系統(tǒng)、廣義有理映射、時(shí)滯系統(tǒng)、超復(fù)系統(tǒng)、高維系統(tǒng)等復(fù)雜復(fù)系統(tǒng)等.復(fù)系統(tǒng)分形集的一個(gè)顯著特點(diǎn)是系統(tǒng)表達(dá)式或迭代規(guī)則簡(jiǎn)單,而所產(chǎn)生的分形行為卻尤為復(fù)雜.因而對(duì)于迭代形式較為復(fù)雜的復(fù)系統(tǒng)而言,其對(duì)應(yīng)的上述兩類分形集則具有更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).本文首先研究了幾類復(fù)雜迭代形式的復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)M-J集的性質(zhì),如有界性,連通性,對(duì)稱性等；利用所得性質(zhì),設(shè)計(jì)了有效的控制器對(duì)其M-J集進(jìn)行了有效的邊界控制或同步控制.具體內(nèi)容如下：1.交替復(fù)映射分形集的性質(zhì)分析.對(duì)簡(jiǎn)單切換(交替)規(guī)則下的復(fù)系統(tǒng)而言,首先利用數(shù)學(xué)歸納法證明了其他學(xué)者在其論文遺留的兩個(gè)待證明問(wèn)題：交替復(fù)系統(tǒng)分形集的有界性和對(duì)稱性,給出了仿真驗(yàn)證了所證明結(jié)果的正確性.然后利用圖形方法研究了在交替規(guī)則下分形集的連通性的變化.2.一類有理時(shí)滯復(fù)映射的Julia集的控制與同步.對(duì)一類有理時(shí)滯復(fù)映射而言,設(shè)計(jì)了一種有效的混合控制器,求出了受控系統(tǒng)Julia集的逃逸半徑,實(shí)現(xiàn)了受控系統(tǒng)Julia集的邊界控制.同時(shí)利用非線性耦合方法實(shí)現(xiàn)了兩不同有理時(shí)滯復(fù)映射Juila集的同步控制.設(shè)計(jì)了一個(gè)“同步指數(shù)”算法來(lái)量化Julia集的同步過(guò)程.利用該算法可清晰地觀察出耦合強(qiáng)度和同步程度的關(guān)系.3.復(fù)Lorenz系統(tǒng)Julia集的噪聲擾動(dòng)分析以及其與復(fù)Henon映射Julia集的同步.Lorenz系統(tǒng)是一類最為經(jīng)典的混沌系統(tǒng),本章研究了一類離散復(fù)Lorenz系統(tǒng)的分形行為,給出了Lorenz系統(tǒng)Julia集的定義.對(duì)系統(tǒng)分別引入加性噪聲和乘性噪聲,首先利用已有JD算法量化了兩種噪聲對(duì)Lorenz系統(tǒng)Julia集的結(jié)構(gòu)破壞程度.然后證明了Lorenz系統(tǒng)Julia集的對(duì)稱性并提出一種“對(duì)稱性指數(shù)”算法量化了兩種噪聲對(duì)Lorenz系統(tǒng)Julia集的對(duì)稱性的影響.最后利用兩種非線性耦合方法實(shí)現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)和復(fù)Henon映射的Julia集的同步控制.將第二章所提出的“同步指數(shù)”算法改進(jìn)至空間情形并用此量化了第一種同步方法中耦合強(qiáng)度和同步程度之間的關(guān)系.4.復(fù)耦合映像格子系統(tǒng)的空間Mandelbrot集的控制通過(guò)給出雙參數(shù)強(qiáng)耦合的復(fù)耦合映像格子系統(tǒng)Mandelbrot集(簡(jiǎn)稱CMLM-集)的定義,將平面Mandelbrot集的研究拓展到了空間情形.證明了CMLM-集的3-D切面的對(duì)稱性.另外設(shè)計(jì)了一類有效輔助參考控制實(shí)現(xiàn)了CMLM-集的3-D切面的旋轉(zhuǎn)變化、位置變化、大小變化等多重控制效果.給出了相應(yīng)的仿真驗(yàn)證了控制方法的有效性.綜上所述,本文主要研究了幾類基于經(jīng)典復(fù)映射所改進(jìn)而得的幾類復(fù)雜映射的M-J集的性質(zhì)和控制問(wèn)題.改進(jìn)了相應(yīng)的可視化算法,提高了分形圖像的成像效果.通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法和不等式技巧等手段分析了這幾類復(fù)系統(tǒng)M-J集的性質(zhì).研究了其M-J集的控制問(wèn)題.補(bǔ)充了分形研究的知識(shí)框架,為分形理論的應(yīng)用提供了一定的理論支撐.
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O415.5;O189

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本文編號(hào)：1313527