本文關鍵詞：幾類偏微分方程的動力學相容的非標準有限差分方法　出處：《哈爾濱工業(yè)大學》2015年博士論文　論文類型：學位論文

  更多相關文章： 偏微分方程 非標準有限差分方法 正性 有界性 單調性 全局漸近穩(wěn)定性

【摘要】：18世紀中期,Euler和D’Alembert分別提出了弦振動過程所滿足的偏微分方程,自此有關偏微分方程的研究開始發(fā)展起來。一般情況下,偏微分方程定解問題很難求解,所以人們構造了各種各樣的數(shù)值方法去求定解問題的近似解。由于能夠正確反映連續(xù)方程的動力學性質的數(shù)值方法才具有實際意義,所以構造能夠保持偏微分方程的動力學性質的數(shù)值方法是一個值得研究的課題。本文主要從保持偏微分方程的反對稱性,解的正性、有界性、時間單調性和空間單調性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性這幾個方面考慮,構造了幾類偏微分方程(系統(tǒng))的動力學相容的非標準有限差分方法。首先研究了一類對流擴散反應方程的非標準有限差分方法。針對這類方程不帶擴散項的情況,即相應的對流反應方程,構造了兩個精確有限差分方法。由于精確有限差分方法形式復雜,所以從其中一個精確有限差分方法推導出一個非標準有限差分方法,該方法能夠保持對流反應方程的解的單調性和有界性以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性�；趯α鞣磻匠痰姆菢藴视邢薏罘址椒�,構造了對流擴散反應方程的一個非標準有限差分方法,并且證明了該方法可以保持微分方程解的正性和有界性以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。然后構造了用于求解一類廣義的Fisher KPP方程的兩個非標準有限差分方法。針對這類方程關于空間變量獨立的情形,構造了一個非標準有限差分方法,證明了該方法能夠保持相應微分方程的解的單調性和有界性以及平衡點的局部穩(wěn)定性�；谶@個非標準有限差分方法,構造了這類廣義的Fisher KPP方程的兩個非標準有限差分方法。證明了這兩個方法可以保持這類方程的反對稱性,解的正性、有界性、時間單調性和空間單調性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。此外,還分析了這兩個非標準有限差分方法的可解性和收斂性。其次針對一類Fitz Hugh Nagumo方程,構造了相應的非標準有限差分方法。通過一個能夠保持關于空間變量獨立的方程的動力學性質的非標準有限差分方法,分別構造了具有一個空間變量和兩個空間變量的Fitz Hugh Nagumo方程的非標準有限差分方法。證明了所構造的方法能夠無條件保持相應的微分方程的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性、以及解的正性和有界性,并且討論了方法的可解性和收斂性。再次給出了一個具有空間擴散的乙肝病毒傳播模型的非標準有限差分方法。分析了所構造方法的可解性,并且證明了該方法能夠無條件保持連續(xù)系統(tǒng)解的正性和常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。通過構造李雅普諾夫函數(shù),證明了該方法能夠無條件保持連續(xù)系統(tǒng)的無病穩(wěn)態(tài)解和慢性病穩(wěn)態(tài)解的全局漸近穩(wěn)定性。最后針對一個具有空間擴散的SIR傳染病模型,構造了一個非標準有限差分方法。所構造的非標準有限差分方法是唯一可解的,且能夠無條件保持連續(xù)系統(tǒng)的解的正性、有界性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。此外,通過構造李雅普諾夫函數(shù)證明了該方法能夠無條件保持連續(xù)系統(tǒng)的無病穩(wěn)態(tài)解和地方病穩(wěn)態(tài)解的全局漸近穩(wěn)定性。
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
，

本文編號：1313175