本文關(guān)鍵詞：廣義測度空間上的模糊度量及其收斂問題研究

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【摘要】：廣義測度(包含非可加測度和模糊測度)作為模糊集理論的一個分支,最早形成于20世紀70年代,它與廣義積分是經(jīng)典測度與積分的延拓,與調(diào)和分析、微分方程、差分方程和最優(yōu)化理論有著緊密聯(lián)系,同時在多準則決策、信息集成、模式識別和回歸分析等方面也有著廣泛應(yīng)用.模糊度量空間理論是模糊拓撲學(xué)中的一個重要組成部分.近十年來基于三角模的模糊度量理論備受關(guān)注.學(xué)者們在完備化、收斂、緊致性、一致連續(xù)、不動點等方面取得一系列漂亮的結(jié)果.另外,模糊度量空間理論還與廣義測度、Domain理論、圖像處理等結(jié)合繁衍出許多新的研究課題.收斂問題是測度論和拓撲學(xué)中的核心問題,而利用度量理論研究測度的收斂問題,更是拓撲測度研究的重要領(lǐng)域,也是拓撲學(xué)與測度論密切聯(lián)系的重要體現(xiàn).本文主要研究廣義測度與模糊度量之間的聯(lián)系,通過在廣義測度空間上構(gòu)造模糊度量,研究廣義測度空間上的收斂問題及其在廣義測度擴張上的應(yīng)用.因此,本文研究結(jié)果將進一步豐富和完善廣義測度理論和模糊度量理論,并為廣義測度論的應(yīng)用提供更為堅實的理論基礎(chǔ).本文以關(guān)注度較高的兩類廣義測度(可分解測度和模糊測度)為研究對象,主要圍繞以下三個問題展開研究:(1)廣義測度與模糊度量相互誘導(dǎo)的方法;(2)廣義測度空間與模糊度量空間性質(zhì)的相互刻畫;(3)應(yīng)用上述結(jié)果研究廣義測度空間上的收斂、擴張等問題.全文共六章,主要研究工作分四個部分:第一部分研究可分解測度空間上的廣義度量.在可測集上定義一個等價關(guān)系,并在其構(gòu)造的商集上誘導(dǎo)一個廣義度量;討論所誘導(dǎo)的廣義度量空間的連續(xù)性、完備性等性質(zhì);研究所構(gòu)造的廣義度量空間與σ-⊥-可分解測度空間性質(zhì)的相互刻畫.研究發(fā)現(xiàn),σ-⊥-可分解測度空間上的μ-可分性、無原子的性質(zhì)在廣義度量空間中可以得到有效刻畫.第二部分研究模糊測度空間上的模糊度量.通過在模糊可測空間上定義模糊可測集的模糊度量,探討所構(gòu)造的模糊度量空間與在模糊可測空間上構(gòu)造的模糊測度空間之間性質(zhì)的相互刻畫.沿用第一部分的研究思路,基于給定的模糊測度,通過在模糊可測集上構(gòu)造等價類,并在其商集上定義模糊度量;討論所構(gòu)造的模糊度量的完備性、連續(xù)性等性質(zhì);證明了模糊測度空間的無原子性質(zhì)在所構(gòu)造的模糊度量空間上可以很好地刻畫.結(jié)論表明,當t-模取min時,經(jīng)典結(jié)果可以在模糊背景上得到推廣.第三部分研究可分解測度擴張的廣義偽度量方法.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果,給出σ-⊥-可分解測度從A到S(A)上的擴張,即為所誘導(dǎo)的廣義偽度量空間上子集的閉包.研究廣義偽度量方法擴張與σ-⊥-可分解測度完備化以及Carath′edory擴張之間的關(guān)系.結(jié)果表明,利用廣義偽度量方法的σ-⊥-可分解測度擴張與σ-⊥-可分解測度的完備化以及Carath′edory擴張結(jié)果是一致的,但是廣義偽度量方法更加直觀、有效.第四部分研究可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果討論可分解測度序列的集合式收斂問題.利用廣義度量空間上的Baire定理等重要結(jié)論,證明可分解測度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理,Nikodym定理.研究結(jié)果表明,在一定條件下,可分解測度序列的“集合式收斂”(在拓撲學(xué)中定義為逐點收斂)可以得到可分解測度序列“一致絕對連續(xù)”,實現(xiàn)了測度概念和拓撲概念的相互刻畫.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O159

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本文編號：1298160