本文關(guān)鍵詞：Korteweg-de Vries方程的若干性質(zhì)

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【摘要】：Korteweg-de Vries方程是由Korteweg和de Vries于1895年提出的描述河道中淺水波傳播的模型.在非線性研究中考慮弱非線性和弱色散現(xiàn)象之間的平衡時,這個方程也是一個非常有用的近似模型.現(xiàn)如今,Korteweg-de Vries方程已經(jīng)成為了描述非線性色散系統(tǒng)中小振幅長波的單方向傳播的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型.在過去的五十多年中,Korteweg-de Vries方程受到了來自于數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家多方面的關(guān)注,并且已經(jīng)成為了力學(xué)以及非線性分析中重大突破的來源,對代數(shù),分析,幾何以及物理等方向的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響.密度分層流體中非線性長波的傳播一直是物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家所關(guān)注的問題.這種波通常出現(xiàn)于湖泊,峽灣以及沿海水域中的溫度突變層,當(dāng)流體的深度相對于波長來說很小時,一般用Korteweg-de Vries方程表示.當(dāng)兩個內(nèi)部重力長波在傳播過程中相速度幾乎相同時,這種現(xiàn)象可以由一個耦合的Korteweg-de Vries方程組來描述.在本文中,我們研究Korteweg-de Vries方程以及耦合Korteweg-de Vries方程組的一些性質(zhì),包括Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性,受迫振蕩問題,具有限制的能控性問題以及耦合Korteweg-de Vries方程組的邊界能控性問題.在第一章中,我們介紹了Korteweg-de Vries方程及耦合Korteweg-de Vries方程組的起源,討論了我們所考慮的問題的背景并列舉了相關(guān)問題已經(jīng)取得的成果,給出了本文的幾個主要結(jié)果.在第二章中,我們研究了有限區(qū)間上Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性,即若Korteweg-de Vries方程的解在空間區(qū)域的一個非空開子集上為零,則其解在整個空間區(qū)域上為零.唯一延拓性是偏微分方程的一類重要性質(zhì),它的起源可以追溯到20世紀(jì)初Holmgren和 Carleman的經(jīng)典結(jié)果.在已知文獻(xiàn)中有許多關(guān)于Korteweg-de Vries方程的唯一延拓性的結(jié)果,對比已知的這些唯一延拓性,我們的結(jié)論對于解的正則性的限制更少.為此,我們需要對Korteweg-de Vries方程建立一個整體的Carleman估計Korteweg-de Vries方程的Carleman估計也在一些文獻(xiàn)中被討論過,但據(jù)我們所知,已知的結(jié)果多是關(guān)于邊界觀測量的,具有內(nèi)部觀測量的Korteweg-de Vries方程的Carleman估計是相對較少的.由這個整體的Carleman估計,再結(jié)合Korteweg-de Vries方程的光滑效應(yīng),即可得到我們所需要的唯一延拓性.在第三章中,我們考慮了周期區(qū)域上的一個具有衰減項(xiàng)的Korteweg-deVrie8方程.我們證明了若外力是一個小振幅的周期函數(shù),則方程的解是漸近時間周期的.近些年來,Korteweg-de Vries方程的時間漸近周期解問題逐漸受到人們的關(guān)注.為解決這一問題,我們引入Bourgain空間,應(yīng)用Bourgain空間中的雙線性估計來處理Korteweg-de Vries方程中的非線性項(xiàng).然后,利用Bourgain空間的性質(zhì)及不動點(diǎn)定理,我們得到線性化系統(tǒng)的一些適定性結(jié)論,解的漸近周期性可由這些適定性結(jié)論結(jié)合半群理論得到.在第四章中,我們考慮有限區(qū)間上兩個Korteweg-de Vries方程耦合的系統(tǒng).這個系統(tǒng)是描述流體中內(nèi)部重力長波相互作用的重要物理模型.在過去的研究成果中,大部分的結(jié)果集中在研究這個系統(tǒng)的適定性及穩(wěn)定化問題上,關(guān)于該系統(tǒng)控制方面的結(jié)果相對較少,在本章中,我們從控制的觀點(diǎn)來研究這一系統(tǒng).對于Korteweg-de Vries方程的能控性問題,我們知道若僅在方程的左端邊界施加控制,則Korteweg-de Vries方程同拋物方程一樣僅是零能控的.但是若在其右端邊界施加控制,則Korteweg-de Vries方程同雙曲方程一樣是精確能控的.由于已知文獻(xiàn)中已經(jīng)討論了我們所考慮的系統(tǒng)右端邊界具有控制時的精確能控性,因此,研究該系統(tǒng)左端Dirichlet邊界具有控制時的零能控性是一個自然而有趣的問題.首先,我們通過變量替換將線性部分和非線性部分均有耦合的系統(tǒng)化為只有非線性部分耦合的系統(tǒng),接下來用Carleman估計建立線性系統(tǒng)的內(nèi)部零能控性,然后結(jié)合線性系統(tǒng)的結(jié)論和Kakutani不動點(diǎn)定理,可以得到原系統(tǒng)的零能控性.在第五章中,我們得到了線性Korteweg-de Vries方程狀態(tài)變量具有有限個限制時的內(nèi)部零能控性.這類控制問題來自于確定不完整數(shù)據(jù)問題中的參數(shù)時使用的Lions的sentinels方法.狀態(tài)或控制具有限制的熱方程的零能控性問題結(jié)果已經(jīng)十分豐富,但對于三階色散方程還沒有相應(yīng)的結(jié)論.需要注意的是本章中所解決的控制問題并不是將熱方程的結(jié)果直接推廣到三階色散方程上,由于三階色散方程的Carleman估計相對于熱方程來說具有一定缺陷,因此這給我們的證明過程帶來了一系列困難.在本章中,我們首先建立了一個適應(yīng)于控制限制的Carleman估計.然后我們將狀態(tài)變量具有限制的能控性問題轉(zhuǎn)化為了一個等價的控制變量具有限制的能控性問題.接下來,我們構(gòu)造了一個對稱的雙線性型并且由適應(yīng)的Carleman估計證明了這個雙線性型在某個空間上是一個標(biāo)量積.最后應(yīng)用Lax-Milgram定理,我們找到了等價問題的控制函數(shù),從而解決了原問題.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175

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中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 呂玉姝;李海紅;劉麗環(huán);王姝;;兩類熱方程的能控性[J];現(xiàn)代教育科學(xué);2009年S1期

2 彭紀(jì)南;;經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能控性的方法論分析[J];系統(tǒng)辯證學(xué)學(xué)報;1993年01期

3 劉保泰,劉又午;系統(tǒng)能控性判據(jù)的研討[J];天津師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2001年03期

4 鄭國杰;李曉愛;;非線性開關(guān)控制系統(tǒng)的能控性(英文)[J];數(shù)學(xué)雜志;2013年04期

5 張志兵;蔣衛(wèi)生;王友強(qiáng);;時滯線性控制系統(tǒng)的魯棒能控性[J];西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2013年11期

6 謝廣明,王龍,葉慶凱;一類混雜動態(tài)系統(tǒng)的能控性(Ⅱ)——含單時滯的情形[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué);2003年09期

7 謝廣明,王龍,葉慶凱;一類混雜動態(tài)系統(tǒng)的能控性(Ⅲ)——含多時滯的情形[J];應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué);2003年09期

8 周中成;李玲飛;崔立芝;王東升;;一類熱方程擾動系統(tǒng)的能控性[J];東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版);2007年02期

9 陳旭東;;一維耦合線性系統(tǒng)的零能控性[J];四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版);2011年01期

10 鄭鴻;;一類彈性系統(tǒng)的內(nèi)部精確能控性[J];瓊州學(xué)院學(xué)報;2012年05期

中國重要會議論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 謝小信;;旋轉(zhuǎn)對稱下雙線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及能控性[A];全國青年管理科學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)論文集（第1卷）[C];1991年

2 于瑞林;周鴻興;;非線性邊界控制系統(tǒng)的能控性問題[A];1998年中國控制會議論文集[C];1998年

3 王連文;;一類非線性分布參數(shù)控制系統(tǒng)的逼近能控性[A];1993年控制理論及其應(yīng)用年會論文集[C];1993年

4 武利沖;樊曉平;瞿志華;;線性系統(tǒng)的ε-完全能控性和ε-完全能觀測性[A];2009年中國智能自動化會議論文集（第三分冊）[C];2009年

5 馮元琨;劉成;李春文;杜繼宏;;一種基于級數(shù)展開的系統(tǒng)能控性分析方法[A];1996年中國控制會議論文集[C];1996年

6 劉峰;董洪斌;;一類非線性時變隨機(jī)系統(tǒng)的能控性[A];第二十七屆中國控制會議論文集[C];2008年

7 張犁;;動態(tài)投入產(chǎn)出模型的能控性及其應(yīng)用[A];1989年控制理論及其應(yīng)用年會論文集（中）[C];1989年

8 謝緒愷;;關(guān)于互質(zhì)多項(xiàng)式的一點(diǎn)注記[A];1997中國控制與決策學(xué)術(shù)年會論文集[C];1997年

9 王殿輝;林崇;謝緒愷;;廣義控制系統(tǒng)的強(qiáng)能控性與強(qiáng)能觀性[A];第三屆全國控制與決策系統(tǒng)學(xué)術(shù)會議論文集[C];1991年

10 謝廣明;鄭大鐘;;一類混合動態(tài)系統(tǒng)的能控性和能觀性研究[A];第十九屆中國控制會議論文集（一）[C];2000年

中國博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 陳默;Korteweg-de Vries方程的若干性質(zhì)[D];吉林大學(xué);2016年

2 陶強(qiáng);具記憶項(xiàng)的拋物型偏微分方程的能控性[D];東北師范大學(xué);2012年

3 丁進(jìn);基于能控性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化研究[D];浙江大學(xué);2014年

4 柳絮;偏微分方程支配控制系統(tǒng)的能控性與正則性[D];浙江大學(xué);2007年

5 于航;一些分布參數(shù)系統(tǒng)的能控性和唯一延拓性問題[D];復(fù)旦大學(xué);2010年

6 張陳斌;非幺正演化條件下量子系統(tǒng)的能控性及控制策略研究[D];中國科學(xué)技術(shù)大學(xué);2007年

7 王志強(qiáng);非自治擬線性雙曲型方程組的精確能控性[D];復(fù)旦大學(xué);2006年

8 崔立芝;非柱狀區(qū)域上一維波動方程的能控性[D];東北師范大學(xué);2013年

9 袁裕鵬;基于代數(shù)、圖及擬陣方法的F（z）上系統(tǒng)結(jié)構(gòu)能控性研究[D];武漢理工大學(xué);2012年

10 于立新;擬線性雙曲型方程組的精確能控性[D];復(fù)旦大學(xué);2004年

中國碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 前10條

1 康文清;變系數(shù)偏微分方程控制系統(tǒng)的精確能控性[D];山西大學(xué);2014年

2 王海鳳;兩類偏微分方程的精確能控性[D];山西大學(xué);2015年

3 壽彬;帶有小滯后的線性動態(tài)系統(tǒng)的魯棒能控性[D];華東師范大學(xué);2009年

4 何紅英;含有一個控制的擬線性拋物系統(tǒng)的能控性[D];華中師范大學(xué);2005年

5 劉思彤;某些耦合擬線性拋物型方程組的能控性[D];東北師范大學(xué);2013年

6 王東升;一類熱方程擾動系統(tǒng)能控性[D];東北師范大學(xué);2006年

7 呂玉姝;拋物方程的能控性發(fā)展歷程[D];東北師范大學(xué);2006年

8 猶志;具單側(cè)移動端點(diǎn)波方程的零能控性[D];東北師范大學(xué);2013年

9 趙健巍;擴(kuò)散系數(shù)在線性拋物系統(tǒng)能控性問題中的作用[D];東北師范大學(xué);2009年

10 胡衛(wèi)娜;多智能體系統(tǒng)的能控性及其應(yīng)用[D];北方工業(yè)大學(xué);2012年

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本文編號：1297511