本文關(guān)鍵詞：含非局部算子的橢圓方程共振和近共振問題

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【摘要】：本文利用臨界點理論研究了含有非局部算子的橢圓型方程在共振和近共振條件下解的存在性及多重性.全文共由下面四部分組成.第一章為緒論,主要介紹了相關(guān)問題的背景及必要的預(yù)備知識.第二章考慮Kirchhoff方程其中Ω是RN(N=1,2,3)中有足夠光滑邊界(?)Ω的有界開區(qū)域,a≥0,b0是實值常數(shù),f：Ω×R→R是Caratheodory函數(shù)具有次臨界增長.注意,這里項fΩ|%絴2dx的出現(xiàn)使方程不再是逐點成立.我們考慮了三種共振和近共振條件下解的存在性和多重性：(ⅰ)當(dāng)f(x,u)=μu3+g(x,u)+h(x)時,運(yùn)用山路引理和Ekeland's變分原理得到了μ從左邊趨近非線性主特征值μ1時多解的存在性；(ⅱ)運(yùn)用G-環(huán)繞定理證明了比值4F(x,t)/bt4在特征值μk和μk+1之間振蕩并可能等于μk+1時解的存在性；(ⅲ)運(yùn)用鞍點定理及對泛函值的仔細(xì)估計找到了比值4F(x,t)/bt4在特征值μ1和μ'2之間振蕩并可能等于μ'2時非平凡解的存在性.這里μ'2是本文重新定義出的第二個非線性特征值.第三章研究分?jǐn)?shù)階橢圓方程其中Ω(?)RN,p∈(1,+∞),s∈(0,1)且spN.(-△)ps被稱作分?jǐn)?shù)階的p-Laplacian算子,為非局部非線性算子,具體定義如下：由分?jǐn)?shù)階橢圓算子的定義知分?jǐn)?shù)階橢圓方程解存在性問題也屬于非局部問題.假設(shè)非線性項f滿足次線性增長條件.首先,我們模擬第二章的相關(guān)部分的證明,找到了分?jǐn)?shù)階p-Laplacian方程關(guān)于主特征值近共振條件下多重解的存在性結(jié)論.當(dāng)p=2時,我們證明了λ從上方和下方趨近非主特征值情形下多重解的存在性.一方面,當(dāng)λ從下方趨近非主特征值時,連續(xù)兩次使用鞍點定理證明兩個鞍點解的存在性并利用能量水平的不同進(jìn)行區(qū)分.另一方面,當(dāng)λ從上方趨近非主特征值時,我們在一列有限維空間上考慮此類問題,并模擬前一種情形找到了固定維數(shù)時的兩個不同解.隨后,通過Galerkin逼近技巧,對找到的解關(guān)于有限問題的維數(shù)取極限找到原問題的兩個解.最后一章我們順帶考慮了p-Laplacian方程關(guān)于Fucik譜關(guān)于平凡譜線共振問題的解.
【學(xué)位授予單位】：西南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.25

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本文編號：1283309