發(fā)布時間：2017-12-11 12:11

  本文關(guān)鍵詞：分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計問題

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【摘要】：作為一種新穎的數(shù)學工具,分數(shù)階微積分建模方法和理論被廣泛應用于物理、化學、生物、醫(yī)學、金融、控制工程等諸多領(lǐng)域。基于分數(shù)階微分算子所具有的記憶、遺傳特性,分數(shù)階導數(shù)模型在刻畫物理力學過程中涉及記憶和遺傳、路徑依賴、全局相關(guān)和自相似性等的反�，F(xiàn)象中體現(xiàn)了其優(yōu)越性。隨著分數(shù)階微積分的逐漸發(fā)展,分數(shù)階相關(guān)文章正在呈現(xiàn)出"井噴式"的增長態(tài)勢。已有眾多學者致力于研究分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法�；诜謹�(shù)階微積分在實際問題中的廣泛應用,分數(shù)階導數(shù)模型的參數(shù)估計問題逐漸發(fā)展成為近年來新興的一個研究熱點。關(guān)于整數(shù)階模型的參數(shù)估計問題的研究已經(jīng)相對成熟,然而在分數(shù)階領(lǐng)域,對于分數(shù)階本構(gòu)模型中參數(shù)的研究,人們大多是通過曲線擬合的方法得到的,而缺乏具體可行的適用于分數(shù)階導數(shù)模型的參數(shù)反演方法。因此,本文主要研究分數(shù)階偏微分方程的解析和數(shù)值方法及其參數(shù)估計問題。本文中針對不同的分數(shù)階導數(shù)模型,分別研究了正問題的求解方法,以及分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題。首先,針對不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時空分數(shù)階波動方程,提出了新穎的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法,并證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性。其次,推導了帶有分數(shù)階熱流條件的一維時間分數(shù)階熱波方程,利用積分變換方法給出了模型的解析解,并利用最小二乘算法估計了分數(shù)階階數(shù)和熱松弛時間,為分數(shù)階反問題提供了具體的參數(shù)估計方法。第三,基于廣義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型,率先提出了利用貝葉斯方法研究分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題,并證明了貝葉斯方法的穩(wěn)定性和收斂性,為分數(shù)階反問題提供了高效、具體的參數(shù)估計方法。第四,針對多孔介質(zhì)中的分數(shù)階分形擴散模型,利用有限差分方法求得了模型的數(shù)值解,并將貝葉斯方法應用于實際問題,基于甲烷在碳介質(zhì)中的快速解吸附實驗數(shù)據(jù)驗證了貝葉斯方法的有效性。最后,將時間分數(shù)階模型推廣到了多項的情形,利用修正的分數(shù)階預估校正算法得到了正問題的數(shù)值解,并給出了另一種有效的適用于分數(shù)階反問題的參數(shù)估計方法,即復合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法。具體地:第一章,我們首先簡要介紹分數(shù)階微積分的產(chǎn)生及發(fā)展歷程,并給出本文中用到的幾種分數(shù)階導數(shù)定義形式。然后,簡單的概述本文的主要研究內(nèi)容。第二章,針對定義在不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時-空分數(shù)階波動方程,我們提出一種新穎的不規(guī)則凸區(qū)域上的不規(guī)則網(wǎng)格有限元算法。在時間上,利用Crank-Nicolson格式離散Caputo時間分數(shù)階導數(shù),而在空間上,利用了一種基于不規(guī)則網(wǎng)格剖分的Galerkin有限元算法。本章中建立了不規(guī)則網(wǎng)格Crank-Nicolson Galerkin數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性分析,并給出了詳細的數(shù)值實現(xiàn)過程。數(shù)值算例表明本章中所提出的不規(guī)則網(wǎng)格有限元方法在求解不規(guī)則凸區(qū)域上的二維時-空分數(shù)階波動方程問題中是有效的。此外,文中對比了規(guī)則網(wǎng)格剖分和不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值格式的實現(xiàn)上的異同,結(jié)果表明不規(guī)則網(wǎng)格剖分在數(shù)值實現(xiàn)上需要更大的計算量,但格式所產(chǎn)生的誤差更小。鑒于實際問題中的研究區(qū)域大多趨于不規(guī)則性,如人類的心臟和大腦,而不規(guī)則區(qū)域很難用規(guī)則的網(wǎng)格剖分很好的近似,因此,研究不規(guī)則凸區(qū)域上基于不規(guī)則網(wǎng)格剖分的有限元方法具有顯著的實際意義。第三章,我們研究Caputo導數(shù)定義下帶有分數(shù)階熱流條件的一維時間分數(shù)階熱波方程及其參數(shù)估計問題。根據(jù)分數(shù)階Cattaneo方程理論,我們首先推導了帶有分數(shù)階熱流條件的時間分數(shù)階熱波模型,并利用分數(shù)階Laplace變換、有限Fourier余弦變換等方法給出了正問題的解析解。然后,利用通過求解正問題獲得的真實溫度場和隨機誤差合成仿真實驗數(shù)據(jù),即介質(zhì)內(nèi)部溫度的測量值。在此基礎(chǔ)上,我們提出利用最小二乘方法研究分數(shù)階階數(shù)α和熱松弛時間τ的兩參數(shù)估計問題。最后,對不同的熱流分布函數(shù)所構(gòu)成的兩個初邊值問題分別進行數(shù)值實驗。數(shù)值算例結(jié)果表明最小二乘算法在求解時間分數(shù)階熱波方程的兩參數(shù)估計問題中是有效的.第四章,針對粘彈性材料的分數(shù)階本構(gòu)方程,我們率先提出利用基于統(tǒng)計原理的貝葉斯方法研究分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題�；诿枋稣硰椥圆牧险硰椞匦缘膹V義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型,在模型解析解的基礎(chǔ)上,我們率先將貝葉斯方法應用于分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題中,同時估計了模型中的四個未知參數(shù)(α,β,λ,τ)。然后,我們給出數(shù)值算例驗證了貝葉斯方法在分數(shù)階模型的參數(shù)估計問題中的有效性和可行性。實驗結(jié)果表明,基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計值的模型模擬結(jié)果很好的擬合了粘彈性材料的實驗測量數(shù)據(jù),證明了貝葉斯方法在分數(shù)階參數(shù)估計問題中的有效性,同時說明了廣義分數(shù)階單元網(wǎng)絡Zener模型在刻畫粘彈性材料的粘彈特性方面是可行的。該研究為分數(shù)階本構(gòu)模型的參數(shù)估計問題提供了具體、可行而有效的參數(shù)反演方法。第五章,針對多孔介質(zhì)中的反常擴散現(xiàn)象,我們研究了分數(shù)階分形擴散模型的數(shù)值求解方法及其參數(shù)估計問題。首先,利用中心盒式差分算法給出了分數(shù)階分形擴散模型初邊值問題的數(shù)值解。然后,在正問題的基礎(chǔ)上,我們利用貝葉斯方法同時估計了模型中的三個參數(shù),即分數(shù)階階數(shù)α、分形維數(shù)df、結(jié)構(gòu)參數(shù)θ。最后,利用甲烷在碳介質(zhì)中的快速解吸附實驗數(shù)據(jù)驗證了本章中所用方法的有效性。數(shù)值結(jié)果表明,基于貝葉斯方法所得參數(shù)估計值的分數(shù)階分形擴散模型很好的擬合了甲烷的快速解吸附實驗數(shù)據(jù),證明了貝葉斯方法在分數(shù)階分數(shù)擴散模型的參數(shù)估計問題中是有效的。同時,通過對比經(jīng)典的Fick模型與分數(shù)階分形擴散模型,可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)典的Fick模型在描述甲烷的反常擴散行為中是失效的,而分數(shù)階分形擴散模型能夠很好的刻畫這一多孔介質(zhì)中的反常擴散現(xiàn)象。此外,為了說明參數(shù)對模型的影響,文中分別分析了參數(shù)α、df、θ的敏感性。結(jié)果表明,三個參數(shù)α、df、θ均顯著影響著分數(shù)階分形擴散模型的模型擬合效果,尤其在實驗的初始階段。本研究為描述多孔介質(zhì)中反常擴散現(xiàn)象的分數(shù)階分形擴散模型的參數(shù)估計問題提供了具體、有效的參數(shù)反演方法。第六章,我們研究Caputo導數(shù)定義下的多項時間分數(shù)階微分方程及其參數(shù)估計問題。首先,利用修正的分數(shù)階預估校正算法得到正問題的數(shù)值解。然后,利用復合Nelder-Mead單純形和粒子群優(yōu)化算法研究相應的參數(shù)估計問題。最后給出數(shù)值算例,基于粘彈性材料的實驗數(shù)據(jù),驗證本章中所用方法在求解多項時間分數(shù)階微分方程參數(shù)估計問題中的有效性。鑒于實際問題中實驗測量時間較長,在參數(shù)估計問題中,文中只取初始階段的一部分實驗數(shù)據(jù)用于估計模型中的未知參數(shù),繼而考察所得參數(shù)估計值是否適用于整個實驗過程的所有數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果表明,只用初始階段數(shù)據(jù)所得的參數(shù)估計值同時適用于整個實驗過程的所有數(shù)據(jù),證明了分數(shù)階數(shù)學模型在刻畫材料的真實物理力學現(xiàn)象及預測未來發(fā)展趨勢中的有效性,同時說明了本章中所用數(shù)值求解方法和參數(shù)反演方法的可行性。第七章,給出本文的總結(jié)和未來的研究工作展望。
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前3條

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本文編號：1278402