本文關鍵詞：球面曲線插值問題及不變量的研究與應用

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【摘要】：隨著計算機科學技術的廣泛普及與迅猛發(fā)展,球面曲線的構造與表示在處理數控加工中的路徑設計,機器人路徑規(guī)劃,電腦動畫設計以及曲面裁剪與分割等問題時顯得尤為重要.然而,球面的非歐結構使得我們無法直接利用計算機輔助幾何設計中一些傳統的方法來構造球面樣條曲線.因此,對球面曲線相關問題的研究不僅具有重要的理論意義,同樣具有重要的應用價值.鑒于此,本文對球面曲線的構造,性質及其在球面數據點擬合方面的應用等相關問題進行了研究,并將部分結果推廣到黎曼流形上.本文主要工作可概括如下：首先,本文對垅維單位球面Sm上的幾何連續(xù)插值問題進行了研究,并將部分結果進行了應用和推廣.主要結果包括：(1)通過確定兩條球面Bezier曲線段G2光滑拼接的充分必要條件,構造出了G2連續(xù)的三次球面Bezier插值樣條,并通過求解兩個約束優(yōu)化問題給出了形狀參數的選取辦法.與現存的兩種主要方法相比,本文的方法放松了對插值數據的限制,并且構造出的樣條曲線速度和加速度的變化更加均勻.(2)將有理德卡斯特里奧算法(rational de Casteljau algorithm)推廣到,m維單位球面Sm上,由此定義了一種新的球面曲線,即廣義有理Bezier曲線.本文給出了曲線首末端點處一階和二階導矢的計算公式.在此基礎上,構造出了G2 Hermite插值的標準型五次廣義有理Bezier樣條,并且提出了將該樣條曲線應用到剛體旋轉運動設計的算法.本文提出的設計算法適用范圍更廣,并且為運動控制提供了更多的自由度,通過交互式設計可以得到更加理想的運行軌跡,數值對比實驗驗證了上述結論.(3)將上述部分結果進行了推廣,在黎曼流形上構造出了G2連續(xù)并且滿足G1 Hermite插值條件的廣義Bezier樣條曲線,并且在2維單位球面和Lobachevsky平面這兩個特殊的黎曼流形上實現了該構造方法,由此表明了本文方法的可行性和有效性.其次,本文對球面代數曲線的內蘊性質及其不變量進行了研究.通過引入球面點的擬齊次坐標和擬射影坐標的概念,解決了對徑點的統一表示問題.又通過對廣義球極投影映射的研究,建立了球面代數曲線與平面代數曲線之間的聯系.在此基礎上,將特征比,特征數和特征映射等平面代數曲線的相關概念推廣到球面上,最終構建了球面代數曲線的特征數理論.利用該理論,建立了高次球面代數曲線與低次球面代數曲線之間的內在聯系.特別的,還證明了三次球面代數曲線一些有趣的性質.
【學位授予單位】：大連理工大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O186.1

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5 李U，

本文編號：1276046