發(fā)布時間：2017-12-10 12:20

  本文關(guān)鍵詞：不可壓Navier-Stokes耦合方程的高效有限元算法研究

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【摘要】：當(dāng)今,計算是繼理論和實驗之后的第三種科學(xué)研究方法;并且在許多情況下,計算模擬是唯一或主要的手段.本文研究不可壓Navier Stokes(N S)方程耦合溫度方程和Maxwell方程;這些都是復(fù)雜的非線性耦合問題,直接求解和計算會遇到一些困難,并且,目前人們對其本質(zhì)的認(rèn)識還非常有限,理論上還無法求其精確解.因此,構(gòu)造和研究求解該問題的穩(wěn)定性良好的高效數(shù)值算法顯得十分迫切.本文以自然對流換熱方程和磁流體動力學(xué)方程為具體研究對象,結(jié)合在直接求解過程中遇到的困難,研究和構(gòu)造了以下幾種穩(wěn)定的高效有限元算法.一、基于兩水平方法的思想,我們構(gòu)造了求解定常自然對流換熱問題的高效的兩步算法.該方法的核心思想是:(1).用低次等階有限元配對,如(P1,P1,P1),求解一個非線性問題作為初值;(2).在同一套網(wǎng)格剖分中,用高次等階有限元配對,如(P2,P2,P2),求解一個線性問題.它和兩水平方法的區(qū)別是:避免了粗細(xì)網(wǎng)格之間的匹配問題.需要說明的是,這里所選用的等階有限元配對都不滿足離散的inf-sup條件,因此,我們采用基于局部高斯積分壓力投影的穩(wěn)定化技巧使得算法穩(wěn)定.理論分析和數(shù)值算例都表明:兩步算法可以達(dá)到直接用高等次階元求解該非線性問題的數(shù)值精度,但所用CPU時間相對較少.二、Navier Stokes耦合問題都是非線性的,求解過程中避免不了處理非線性項;如果我們采用迭代法來處理它,每迭代一次計算量就會增加一倍.因此,本文構(gòu)造了求解非定常自然對流換熱問題的特征線變分多尺度方法.該算法不僅可以巧妙地避開非線性迭代(在每一時間層上,只需求解一個線性問題),節(jié)約大量的CPU時間并且保證計算精度,而且可以處理大瑞利數(shù)問題,此外該算法具有良好的穩(wěn)定性.最后通過數(shù)值算例來驗證此算法比經(jīng)典的變分多尺度方法計算效率更高.三、在求解Navier Stokes方程的過程中,遇到的最大困難是速度和壓力的耦合.為此許多學(xué)者提出并發(fā)展了投影方法:把一個非線性系統(tǒng)化成一系列橢圓問題,解耦的同時也解決了非線性項的問題,因此該算法非常高效.本文在此基礎(chǔ)上,構(gòu)造了求解非定常自然對流換熱問題的兩種壓力校正投影方法:標(biāo)準(zhǔn)的壓力校正投影方法(一階格式)和旋度式壓力校正投影方法(二階格式);并且這些格式都是無條件穩(wěn)定的,因此壓力校正投影方法可以求解大瑞利數(shù)問題.此外,我們還給出了一階格式的收斂性分析,最后,通過數(shù)值算例來驗證算法的高效性和理論的正確性.四、上述研究工作基于Boussinesq近似,目前為止,人們對自然對流換熱問題的研究大多基于此;對于大溫度梯度下的自然對流換熱問題(Boussinesq近似不再適用)的研究還比較少,此時質(zhì)量方程、動量方程和溫度方程中的密度都不能假設(shè)為常數(shù).實際工程應(yīng)用中,有很多大溫差的情況,因此,對于大溫差自然對流換熱問題的研究日益迫切.在研究上述工作的過程中,我們發(fā)現(xiàn)投影方法是求解不可壓Navier Stokes耦合方程的一種無條件穩(wěn)定且非常高效的方法.我們選擇另一種投影方法:Guage Uzawa方法,來求解大溫差自然對流換熱問題.因為和壓力校正投影方法相比,它有另外一些優(yōu)勢.本文分別構(gòu)造了兩種形式下的一階和二階Guage Uzawa方法,并給出了穩(wěn)定性分析.最后,數(shù)值算例驗證了此算法能夠快速、有效的處理大溫差自然對流換熱問題.五、在前人的研究工作以及上述第一部分的研究工作基礎(chǔ)上,把上述第一部分的算法推廣應(yīng)用到求解定常不可壓磁流體動力學(xué)(Magnetohydrodynamics,簡記為MHD)問題上,但又有稍微區(qū)別:(1).用低階有限元配對(P1b,P1,P1)去求解一個非線性問題作為初值,即,用Mini有限元配對(P1b,P1)去逼近速度和壓力,用P1元去逼近磁場強度;(2).用高階有限元對(P2,P1,P2)去求解一個線性問題,即,用Taylor Hood有限元配對去逼近速度和壓力,用P2元去逼近磁場.注意,這里的Mini有限元配對和Taylor Hood有限元配對都滿足inf sup條件,因此,這里不需要使用穩(wěn)定化技巧.此外,我們還給出了該算法的穩(wěn)定性和收斂性分析;最后,給出一些數(shù)值算例來說明算法和理論分析的高效性及準(zhǔn)確性。
【學(xué)位授予單位】：新疆大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前3條

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本文編號：1274437