本文關(guān)鍵詞：序三元半群的正則性以及三元半超群的軟雙超理想

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【摘要】：半群的Von Newmann正則性在半群論中發(fā)揮了重要作用.一個(gè)半群S稱為(von Neumann)正則的,如果對(duì)于任意a ∈ S均有a ∈ aSa.sekik1956年利年利左理想和右理想刻畫了半群的正則性,證明了半群S是正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于S的任意右理想A及左理想B均有AB = A ∩B.從此以后,許多作者利用其他種類的理想,如雙邊理想,雙理想(bi-ideal),擬理想(quasi-ideal),按照Iseki的方式刻畫了半群的正則性.人們還研究了其他種類的正則性,如左正則和intra-正則,并利用利用單邊理想,雙邊理想,雙理想,擬理想刻畫了這些正則性.這些正則性的組合,如正則與左正則,正則與內(nèi)正則(intra-regular),左正則與內(nèi)正則等也被研究.Zadeh于1965年提出了模糊集合論,此后,模糊集合進(jìn)入了數(shù)學(xué)的許多分支.特別是模糊代數(shù),如模糊群,模糊半群,模糊擬環(huán)(near-ring)和半環(huán)(semiring),模糊李代數(shù),模糊代數(shù)超結(jié)構(gòu)等等迅速發(fā)展起來.Rosenfeld于1977年開始研究模糊代數(shù)運(yùn)算,提出了模糊子群的概念.Kuroki于1978年提出了半群的模糊子集的概念,并且建立的模糊理想理論.一些研究者利用模糊理想按照Iseki的方式給出了正則性的刻畫.Cayley和Sylvester早在19世紀(jì)就考慮過三元代數(shù)運(yùn)算.1932年,Lehmer研究了三元代數(shù)系統(tǒng).三元半群的概念是由S.Banach提出的.Los和Lyapin分別在20世紀(jì)50年代和80年代研究過三元半群.半群正則性的研究可以自然地?cái)U(kuò)展到三元半群和序半群.Sioson于1963年將Iseki的經(jīng)典結(jié)果擴(kuò)展到n元半群的情形.最近,Dutta等人研究了三元半群的正則性.Kehayop-ulu,Shabir,唐劍和謝祥云等人利用模糊左理想,模糊右理想和模糊準(zhǔn)理想刻畫了序半群的正則性.序三元半群為序半群和三元半群提供統(tǒng)一框架.自然地,要將序半群和三元半群正則性的研究擴(kuò)展到序三元半群.序三元半群的von Neumann正則性及其推廣和類比,如弱正則性,內(nèi)正則性等也可以利用模糊理想來刻畫.在第3章中,我們刻畫了序三元半群的左弱正則性和內(nèi)正則性以及聯(lián)合正則性,如正則性和弱正則性,正則性與內(nèi)正則性,左正則性與內(nèi)正則性等,規(guī)律性和弱規(guī)律性,推廣了文獻(xiàn)中的許多結(jié)果.定理3.1.7.序三元半群是左(右)弱正則的當(dāng)且僅當(dāng)其每個(gè)模糊左(右)理想是冪等的.定理3.1.14.設(shè)S是序三元半群,U是S的子集族,它包擴(kuò)了 S的所有模糊左理想.則下列等價(jià).(1)S左弱正則的;(2)對(duì)所有模糊左理想f,f',f"均有f ∧ f' ∧ f"(?)f(?)f'(?)f";(3)對(duì)所有模糊左理想f,模糊雙邊理想g以及u ∈ U均有f ∧ g ∧ u(?)f(?)g(?)u;(4)對(duì)所有模糊雙邊理想g,模糊右理想h以及u ∈ U均有g(shù)∧h ∧u(?)g(?)h(?)u;(5)對(duì)所有模糊雙邊理想g,模糊左理想f以及u ∈ U均有g(shù) ∧u ∧ f(?)g(?)u(?)f;(6)對(duì)所有模糊雙邊理想g以及u ∈ U均有g(shù) ∧ u(?)1(?)g(?)u;(7)對(duì)所有模糊右理想h以及u ∈ U均有h ∧ u(?)1(?)h(?)u;(8)對(duì)所有模糊左理想f以及u ∈ U均有u ∧ f(?)1(?)u(?)f.定理3.2.2.設(shè)S是弱正則的序三元半群.則S的模糊子集f是S的模糊擬理想當(dāng)且僅當(dāng) f =(1(?)1(?)f)∧(f(?)1(?)1).定理3.2.5.序三元半群S是弱正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S所有模糊擬理想f均有f =(1(?)1(?)f)3 ∧(f(?)1(?)1)3.定理3.2.6.序三元半群S是弱正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的所有模糊擬理想f均有f =(f(?)1(?)1)3 ∧(1(?)f(?)1)3 ∧(1(?)1(?)f)3=(f(?)1(?)1)3 ∧(1(?)1(?)f(?)1(?)1)3 ∧(1(?)1(?)f)3.定理3.3.5.設(shè)S是序三元半群,U是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊左理想.則S是內(nèi)正則且左弱正則的當(dāng)且僅當(dāng)下列陳述之一成立.(1)對(duì)所有模糊左理想f,雙理想g均有g(shù)' f ∧g∧g'(?)f(?)g(?)g';(2)對(duì)所有模糊左理想f,f'以及模糊子集(雙理想,擬理想)u均有f ∧u ∧ f'(?)f(?)u(?)f';(3)對(duì)所有模糊左理想f,模糊右理想h以及u ∈ U均有f ∧ h ∧ u(?)f(?)h(?)u;(4)對(duì)所有模糊雙邊理想h,模糊雙理想g以及u ∈ U均有h ∧ u ∧ g(?)h(?)u(?)g;(5)對(duì)所有模糊雙理想g以及u ∈ U均有u ∧ g(?)1(?)u(?)g.定理3.4.4.設(shè)S是序三元半群.設(shè)U是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊左理想,U'是S的一族模糊子集,它包括了 的所有模糊右理想,U"是S的一族模糊子集,它包括了 S的所有模糊雙邊理想,則下列等價(jià).(1)S是正則且弱正則的(左弱正則的,右弱正則的）;(2)對(duì)所有模糊右理想g,g'以及u ∈ U均有g(shù) ∧ g'∧u(?)g(?)g'(?)u;(3)對(duì)所有模糊左理想f'f以及u' ∈U'均有u' ∧ f' ∧ f(?)u'(?)f'(?)f;(4)對(duì)所有模糊右理想g,左理想f以及u" ∈ U"均有g(shù)∧ u" ∧ f(?)g(?)u"(?)f;(5)對(duì)所有模糊雙邊理想h,h' ∈ U',以及u ∈ U均有u' ∧ h ∧ u(?)u'(?)h(?)u;(6)對(duì)所有模糊右理想g,模糊雙邊理想h以及模糊左理想f均有g(shù) ∧ h ∧ f(?)g(?)h(?)f;(7)對(duì)所有模糊右理想g,模糊左理想f均有g(shù)∧f(?)g(?)f(?)1(?)g(?)f.定理3.5.3.設(shè)S是序三元半群.則下列條件等價(jià).(1)S是正則的且內(nèi)正則的;(2)S的每個(gè)模糊雙理想f是冪等的;(3)S的每個(gè)模糊擬理想f是冪等的.Bhakat與Das于1992年引入了(α,β)-模糊子群的概念,它基于模糊點(diǎn)和模糊子群之間的屬于關(guān)系(∈)和擬一致(quasi-coincident)關(guān)系(q),Jun等人于2009年給出了序半群的廣義模糊雙理想的概念,并利用(∈,∈∨q)-理想刻畫了正則序半群.Muhammad等人于 2010年利用(∈,∈ ∨q)-模糊理想刻畫了正則半群.Rehman和Shabir于2012年利用(α,β)-模糊理想刻畫了三元半群.Zeb等人利用(∈,∈ ∨qk)-模糊理想刻畫了三元半群的正則性.唐劍和謝祥云于2014年在序半群中引入了(∈,∈ ∨qk)-模糊理想與(∈,∈ Vqk)-模糊雙理想的概念,并利用(∈,∈ Vqk)-模糊左理想,(∈,∈ ∨qk)-模糊雙理想以及(∈,∈ ∨qk)-模糊廣義雙理想刻畫了正則的序半群.在第4章,我們對(duì)序三元半群引入了(∈,∈ ∨qh)-模糊理想,(∈,∈ ∨qh)-模糊雙理想以及(∈,∈ ∨q)-模糊廣義雙理想,這是相應(yīng)(∈,∈ ∨qk)-模糊理想的推廣.我們利用(∈,∈ ∨qh)-模糊左理想,(∈,∈∨qh)模糊雙理想以及(∈,∈∨qh)-模糊廣義的雙理想刻畫了正則的序三元半群.作為應(yīng)用,得出了一般(無序)半群上的相應(yīng)結(jié)果.定理4.2.7.設(shè)S是序三元半群且f是S的模糊子集.則f是S的(∈,∈ ∨qh)-模糊雙理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有x,y,z,s1,s2 ∈ S均有定理4.2.12.設(shè)S是序三元半群且f是S的強(qiáng)凸模糊子集,則f是S的(∈,∈∨qh)-模糊雙理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)f的每個(gè)(∈ Vqh)-水平子集[f]t都是S的雙理想.定理4.2.14.設(shè)S是序三元半群且f是S的模糊子集,則f是S的(∈,∈ ∨qh)-模糊廣義雙理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有x,y,z∈S均有定理4.2.15.設(shè)S是序三元半群且f是S的強(qiáng)凸模糊子集,則f是S的(∈,∈∨qh)-糊廣義雙理想當(dāng)且僅當(dāng)f的每個(gè)(∈∨qh)-水平子集[f]t都是S的廣義雙理想.定理4.3.5.設(shè)S是序三元半群且A是S非空子集,則A是S的左(右,側(cè)(lateral))理想當(dāng)且僅當(dāng)fA是S的(∈,∈ ∨qh)-模糊左(右,側(cè))理想.軟集合論是由Molodtsov于1999年為處理不確定性提出來的.Aktas和Cagman于2007年進(jìn)一步發(fā)展了軟集合論的基本思想.他們還討論了軟群及其基本性質(zhì).Marty于1934年開創(chuàng)了超代數(shù)結(jié)構(gòu)理論.他考慮了超群的性質(zhì)及其對(duì)群的應(yīng)用.超群是經(jīng)典群的推廣.有很多數(shù)學(xué)家研究超代數(shù)結(jié)構(gòu),推廣了各種經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu),發(fā)表了大量論文和專著.超結(jié)構(gòu)理論在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的許多領(lǐng)域都有應(yīng)用.Yamak,Kazanci和Davvaz 于 2011年研究了軟超結(jié)構(gòu).Hila,Naka,Leoreanu-Fotea 和 Sadiku 于 2013 年研究了三元半超群,軟集,軟三元半超群,軟左(right,側(cè))超理想,軟超理想,軟擬(雙)超理想.Naz和Shabir于2014年研究了半超群的素軟雙超理想.在第5章,我們定義并研究了三元半超群的素性,推廣了 Naz和Shabir的結(jié)果.下面設(shè)S是三元半超群.定理5.2.6.三元半超群S的軟集fA是S在U的三元子半超群當(dāng)且僅當(dāng)fA*fA*fA(?)fA定理5.3.9.對(duì)于三元半超群S下列斷言等價(jià).(1)S在U上的每個(gè)軟雙超理想是冪等的;(2)對(duì)所有軟雙超理想gB,SC和iD均有(gB*SC*iD)∩(SC*iD*gB)∩(iD*gB*SC)= gB ∩ SC∩ iD;(3)S在U上的每個(gè)軟雙超理想是半素的;(4)S在U上的每個(gè)真軟雙超理想是包含它的所有不可約的半素軟雙超理想之交.定理5.3.10.三元半超群S在U上的每個(gè)軟雙超理想是強(qiáng)素的當(dāng)且僅當(dāng)S在U上的每個(gè)軟雙超理想是冪等的,并且S在U上的軟雙超理想之集關(guān)于包含關(guān)系是全序集.定理5.3.11.如果S在U的軟雙超理想之集是全序集,則S的每個(gè)軟雙超理想是冪等的當(dāng)且僅當(dāng)S的每個(gè)軟雙超理想是素的.定理5.3.12.如果S在U的軟雙超理想之集是全序集,則素性與強(qiáng)素性一致.定理5.3.13.對(duì)于三元半超群S,下列斷言等價(jià).(1)S在U上的軟雙超理想之集關(guān)于包含關(guān)系是全序集;(2）S在U上的每個(gè)軟雙超理想是強(qiáng)不可約的.(3)S在U上的每個(gè)軟雙超理想是不可約的.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O152.7

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