本文關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性研究

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【摘要】：非線(xiàn)性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)既有深刻理論意義又有廣泛應(yīng)用價(jià)值的研究方向.它以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)的非線(xiàn)性問(wèn)題為背景,建立處理許多非線(xiàn)性問(wèn)題的若干一般性理論和方法.因其能很好的解釋各種自然現(xiàn)象,它的豐富理論和先進(jìn)方法為解決當(dāng)今科技領(lǐng)域中層出不窮的非線(xiàn)性問(wèn)題提供了富有成效的理論工具,目前非線(xiàn)性泛函分析的主要內(nèi)容包括拓?fù)涠壤碚�、臨界點(diǎn)理論、半序方法、解析方法和單調(diào)映射理論等.Banach空間中微分方程理論是非線(xiàn)性泛函分析的一個(gè)重要研究分支,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)和控制理論等諸多領(lǐng)域.非線(xiàn)性微分方程邊值問(wèn)題的研究是一個(gè)具有持久生命力的課題,近年來(lái),非線(xiàn)性微分方程邊值問(wèn)題解的存在性受到研究者的廣泛關(guān)注,并且取得了豐富的研究成果.分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)過(guò)三個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展,其應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛,與經(jīng)典的微積分相比,它可以更好地描述生物、物理、化學(xué)、金融等領(lǐng)域中具有記憶和遺傳性質(zhì)的過(guò)程,這些過(guò)程在數(shù)學(xué)上即表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階微分方程.但由于分?jǐn)?shù)階微分算子的奇異性和非局部性質(zhì),導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)理論上的研究困難.因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.本文主要研究了整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階上幾類(lèi)微分方程(組)奇異和半正邊值問(wèn)題正解的存在性、唯一性和多解性情況,利用非線(xiàn)性泛函分析的錐理論、不動(dòng)點(diǎn)理論、Krasnosel' skii不動(dòng)點(diǎn)定理、單調(diào)迭代方法,獲得了一些新的結(jié)果.這些結(jié)果大都已經(jīng)發(fā)表在國(guó)外重要的學(xué)術(shù)期刊上,如《Appl.Math.Comput.》(SCI)、《Adv. Difference Equ.》(SCI)、《Abstr.Appl.Anal.》等.本文共分六章.第一章緒論部分,簡(jiǎn)要介紹了非線(xiàn)性泛函分析的歷史背景,給出了非線(xiàn)性泛函分析的一些基本定義和性質(zhì),并且列出了后面章節(jié)中要用到的關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)存在性的幾個(gè)引理,這些引理在本文主要結(jié)果的證明中是至關(guān)重要的.第二章,通過(guò)在一個(gè)特殊的空間和特殊的錐上應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理,我們討論了一類(lèi)無(wú)窮區(qū)間上奇異半正邊值問(wèn)題正解的存在性.我們的工作包含和改進(jìn)了奇異和非奇異的情況下的許多已知結(jié)果.第三章,我們研究了一類(lèi)無(wú)窮區(qū)間上帶有積分條件的p-Laplacian分?jǐn)?shù)階積微分方程的極值解.利用單調(diào)迭代方法結(jié)合適當(dāng)?shù)臈l件,得到了分?jǐn)?shù)階微分方程的極大解和極小解的存在性.此外,我們建立了由簡(jiǎn)單線(xiàn)性函數(shù)開(kāi)始的迭代解序列.最后,通過(guò)一個(gè)例子驗(yàn)證了我們的主要結(jié)果.第四章,我們系統(tǒng)地研究了用于HIV感染模型的帶有積分邊界條件的抽象分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性.利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了一些新的結(jié)果并且實(shí)例證明了主要結(jié)果的應(yīng)用性.第五章,我們得到了帶有耦合邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性結(jié)果.5.1研究一類(lèi)帶有耦合邊界條件的(n-1,1)型奇異分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的正解,建立了系統(tǒng)正解的存在性條件.此外，我們得出正解的明確估計(jì)式,并在某些附加條性下,獲得了正解的唯一性,通過(guò)例子展示了主要結(jié)果的有效性.5.2我們考慮了一類(lèi)帶有耦合邊界條件的含參數(shù)高階奇異半正分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的正解.利用格林函數(shù)的性質(zhì)和krasnosel' skii不動(dòng)點(diǎn)定理,在非線(xiàn)性函數(shù)滿(mǎn)足某些條件的情況下,得到了系統(tǒng)正解的存在性結(jié)果.本文的方法是建立帶有耦合邊界條件的非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解存在性的統(tǒng)一方法.第六章,我們探討了帶有積分邊界條件的奇異分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性,其中,我們?cè)试S非線(xiàn)性項(xiàng)相對(duì)于時(shí)間和空間變量同時(shí)奇異.
【學(xué)位授予單位】：曲阜師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O175.8

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