本文關(guān)鍵詞：含Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的非線性橢圓方程和系統(tǒng)的解

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【摘要】：著名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg(CKN)不等式(Compos. Math.,1984)包含了經(jīng)典的Sobolev不等式和Hardy不等式作為特例,它在泛函分析、偏微分方程等數(shù)學(xué)分支研究里是一個非常重要的不等式。CKN不等式中的等號是否取到、最佳常數(shù)為多少、達(dá)到函數(shù)是什么樣子的或者具有什么樣的性質(zhì)等問題是近三十多年來分析與非線性方程領(lǐng)域中許多專家非常關(guān)心的問題,很多著名的數(shù)學(xué)家在這方面做出了大量杰出的貢獻(xiàn)。本文旨在利用變分法和橢圓方程的理論,研究與CKN不等式有關(guān)的含Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的方程和方程組。包括最小能量解的存在性和非存在性問題,正解的存在性問題,無窮多解、變號解的存在性問題,以及解的正則性、對稱性、衰減估計等性質(zhì)的研究。首先,我們考慮一類有界區(qū)域上涉及Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的非線性Schrodinger方程,研究了方程形式上滿足“最高次冪方項的系數(shù)是負(fù)的”這種情形正解的存在性問題。在國際上給出了Li Yanyan和Lin Changshou在文獻(xiàn)(Arch. Ration. Mech. Anal.,2012)中提出的公開問題的第一個回答。另外對于帶有雙Hardy-Sobolev臨界指數(shù)項的次臨界擾動問題,我們研究了基態(tài)解或正解的存在性。建立了對一般區(qū)域均適用的一系列重要的插值不等式,并成功應(yīng)用來證明了錐上的一類CKN不等式的最佳常數(shù)是可達(dá)的。同時將上面問題的研究成果推廣到無界區(qū)域的情形,這是這類方程在無界區(qū)域(非極限區(qū)域)上的首次嘗試。同時在RN上考慮了有多重Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的方程,發(fā)展了Lions的集中緊思想,并結(jié)合擾動方法研究了基態(tài)解的存在性問題,系統(tǒng)地研究了正解的正則性、對稱性、衰減估計等性質(zhì)。另外,我們還研究了橢圓系統(tǒng)的情形,這是對涉及Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的橢圓系統(tǒng)方面的第一次嘗試。我們首次獲得了這類系統(tǒng)基態(tài)解的存在性、唯一性、對稱性、正則性、衰減性估計等一系列成果。其中的一些結(jié)果將成為研究這類系統(tǒng)的根本性定理。
【關(guān)鍵詞】：Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式 Hardy-Sobolev臨界指數(shù) 橢圓系統(tǒng) 基態(tài)解 正則性和對稱性
【學(xué)位授予單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.25
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-9
• 主要符號對照表9-11
• 第1章 引言11-19
• 1.1 選題背景和意義11-13
• 1.2 研究現(xiàn)狀簡介13-17
• 1.3 本文研究的問題17-19
• 第2章 準(zhǔn)備工作19-37
• 2.1 預(yù)備知識19-36
• 2.1.1 Sobolev空間中的一些嵌入和緊嵌入定理19-24
• 2.1.2 變分法中的一些重要定理24-26
• 2.1.3 一些重要不等式26-31
• 2.1.4 Pohozaev恒等式31-34
• 2.1.5 極值原理34-36
• 2.2 一些約定36-37
• 第3章 與Li-Lin公開問題有關(guān)的一類涉及Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的非線性偏微分方程37-76
• 3.1 問題介紹和主要結(jié)果37-41
• 3.2 準(zhǔn)備工作41-52
• 3.3 定理3.1-3.4中正解存在性的證明52-61
• 3.3.1 定理3.1條件下正解的存在性：0∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)=μ_(s_2)(R~N)52-53
• 3.3.2 定理3.2條件下正解的存在性：0 ∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)=μ_(s_2)(R_+~N)53
• 3.3.3 定理3.3條件下正解的存在性：0 ∈(?)Ω,λ>0,μ_(s_2)(Ω)<μ_(s_2)(R_+~N)53
• 3.3.4 定理3.4條件下正解的存在性：O ∈(?)Ω,λ<0,μ_(s_2)(Ω)<μ_(s_2)(R_+~N)53-61
• 3.4 基態(tài)解的存在性61-64
• 3.5 定理3.5的證明64-72
• 3.6 定理3.6的證明72-76
• 第4章 一類涉及到雙Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的擾動非線性橢圓偏微分方程76-107
• 4.1 問題介紹和主要結(jié)果76-80
• 4.2 Nehari流形80-87
• 4.3 與緊性相關(guān)的一些準(zhǔn)備知識及定理4.1的證明87-104
• 4.3.1 Palais-Smale序列的漸近行為分析87-94
• 4.3.2 最小能量值或者山路值的估計94-103
• 4.3.3 定理4.1的證明103-104
• 4.4 定理4.2的證明104-107
• 第5章 帶位勢的Rellich-Kondrachov緊性定理(即定理2.3)的幾個應(yīng)用107-143
• 5.1 問題介紹和主要結(jié)果107-112
• 5.2 應(yīng)用一：一類CKN不等式的最佳常數(shù)可達(dá)或者極值函數(shù)的存在性問題112-118
• 5.3 應(yīng)用二：一類帶奇異位勢的p-拉普拉斯橢圓方程的多解性問題118-127
• 5.4 應(yīng)用三：無界區(qū)域上的一些探討127-143
• 5.4.1 次臨界的情形128-131
• 5.4.2 臨界的情形131-143
• 第6章 R~N上一類含有Sobolev臨界項并涉及到多重Hardy-Sobolev臨界指標(biāo)的問題143-182
• 6.1 問題介紹和主要結(jié)果143-145
• 6.2 問題(6-1)非負(fù)解的正則性145-150
• 6.3 問題(6-1)正解的對稱性研究150-156
• 6.3.1 所有λ_i都是正的時候基態(tài)解的對稱性150-151
• 6.3.2 存在參數(shù)λ_i<0時正解的對稱性研究151-156
• 6.4 一個相關(guān)的逼近問題156-169
• 6.4.1 Nehari流形N_ε158-164
• 6.4.2 逼近問題(6-101)基態(tài)解的存在性164-169
• 6.5 定理6.1的證明：解的存在性169-182
• 6.5.1 相關(guān)的準(zhǔn)備知識169-175
• 6.5.2 k=l時定理6.1中解的存在性證明175-177
• 6.5.3 k≠l時定理6.1中解的存在性證明177-182
• 第7章 涉及到Hardy-Sobolev臨界指標(biāo)的橢圓系統(tǒng)182-307
• 7.1 問題介紹和主要結(jié)果182-183
• 7.2 正則性、對稱性和衰減估計183-193
• 7.3 Nehari流形N193-198
• 7.4 非平凡的基態(tài)解的不存在性研究198-203
• 7.5 存在性結(jié)論研究的準(zhǔn)備工作203-212
• 7.5.1 特殊情形λ=μ(β/α)~((2~*(s_1)-2)/2)-時的正解的存在性結(jié)論203-204
• 7.5.2 c_0：=inf(u,v)∈NΦ(u,v)的估計204-212
• 7.6 s_1=s_2=S∈(0,2)時系統(tǒng)的研究212-252
• 7.6.1 一個相關(guān)的逼近問題215-218
• 7.6.2 定理7.2的證明218-224
• 7.6.3 正的基態(tài)解的存在性研究224-227
• 7.6.4 基態(tài)解的唯一性和不存在性研究227-234
• 7.6.5 關(guān)于錐的更多結(jié)論234-238
• 7.6.6 無窮多個變號解的存在性研究238-242
• 7.6.7 一般區(qū)域上的更多結(jié)論242-252
• 7.7 s_1≠s_2∈(0,2)時系統(tǒng)的研究252-274
• 7.7.1 一個相關(guān)的逼近問題253-254
• 7.7.2 Nehari流形N_ε254-257
• 7.7.3 c_ε的估計257-260
• 7.7.4 逼近問題(7-483)的正基態(tài)解的存在性260-263
• 7.7.5 逼近問題(7-483)基態(tài)解的幾何結(jié)構(gòu)及能量c_ε的漸近分析263-266
• 7.7.6 定理7.10的證明266-274
• 7.8 一般的非極限區(qū)域上系統(tǒng)的研究274-307
• 7.8.1 緊性定理275-284
• 7.8.2 PS序列分解結(jié)論284-298
• 7.8.3 最小能量m_0的估計298-300
• 7.8.4 非平凡基態(tài)解的存在性結(jié)論及其證明300-307
• 第8章 結(jié)論和展望307-311
• 8.1 結(jié)論總結(jié)307-309
• 8.2 值得繼續(xù)考慮的問題309-311
• 參考文獻(xiàn)311-316
• 致謝316-318
• 個人簡歷、在學(xué)期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與研究成果318

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本文編號：1074496