本文關(guān)鍵詞：Ricci-平均曲率流和聯(lián)絡(luò)Ricci流

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【摘要】：幾何曲率流是指對(duì)微分流形的幾何量進(jìn)行演化,演化速度為曲率的某個(gè)函數(shù).根據(jù)幾何量的不同,一般分為內(nèi)蘊(yùn)的曲率流和外蘊(yùn)的曲率流.最經(jīng)典的就是Ricci流和超曲面的平均曲率流.Ricci流是由Hamilton所引入,并成為Perelman完全解決龐加萊猜想的主要工具.受到Hamilton的Ricci流的啟發(fā),Huisken最早用拋物方程的方法來研究超曲面的平均曲率流.本文首先研究Ricci-平均曲率流.所謂的Ricci-平均曲率流是指這樣的一族浸入X(·,t):Mn→(Nn+1,g(t)),其中g(shù)(t)滿足Ricci流,x(·,t)滿足超曲面的平均曲率流.此時(shí)外圍空間在Ricci流下演化,從而對(duì)超曲面的行為產(chǎn)生影響.我們比較關(guān)心超曲面的收斂性問題.在外圍空間滿足規(guī)范化的Ricci流且初始的度量與球空間形式充分接近的情況下,我們證明了如果初始的超曲面滿足一個(gè)合適的pinching條件,那么這族超曲面在Ricci-平均曲率流下或者在有限時(shí)間內(nèi)收縮到一個(gè)圓點(diǎn),或者收斂到一張全測地超球面.通過構(gòu)造F泛函,Huisken說明了對(duì)于閉超曲面的平均曲率流,其第一類奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)著self-shrinker. Colding-Minicozzi對(duì)self-shrinker的研究做出了突破性的工作.他們對(duì)self-shrinker提出了熵穩(wěn)定性的概念并分類了熵穩(wěn)定的self-shrinker.在外圍空間是Ricci soliton的情況下,Magni-Mantegazza-Tsatis構(gòu)造了類似于Huisken的泛函,使之在平均曲率流下單減.之后,在外圍空間是收縮的梯度Ricci soliton (N,g,f)的情況下,Yamamoto說明了對(duì)于超曲面的Ricci-平均曲率流,其第一類奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)于f-極小超曲面,即極限的超曲面滿足H＝g(%絝,v).一個(gè)很自然的問題就是分類收縮的梯度Ricci soliton中的f-極小超曲面.我們考慮乘積流形Mn×R,其中Mn是一個(gè)具有常正Ricci曲率的Einstein流形.通過構(gòu)造類似于Huisken的F泛函,我們給出f-極小超曲面的自然的分類.重整化群流是由物理學(xué)家在研究量子場論中的非線性σ模型時(shí)所提出.由此,Streets引入了聯(lián)絡(luò)Ricci流,即將Ricci流推廣到帶撓率的聯(lián)絡(luò)上.在本文中,我們考慮3維閉流形的聯(lián)絡(luò)Ricci流.奇點(diǎn)分析在曲率流的研究中起到很關(guān)鍵的作用,而奇點(diǎn)的分類一般依據(jù)的是幾何量的blow-up速度.利用發(fā)展方程,我們得到了帶由撓率聯(lián)絡(luò)所定義的曲率的blow-up速度的下界估計(jì).之后我們分類了聯(lián)絡(luò)Ricci流的極大解,并最終給出了其對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)模型.
【關(guān)鍵詞】：Ricci-平均曲率流 pinching條件 全測地 f-極小超曲面 F-穩(wěn)定的 奇點(diǎn) 奇點(diǎn)模型
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O186.12
【目錄】：

• 摘要5-7
• Abstract7-9
• 第一章 緒論9-19
• 1.1 背景介紹9-15
• 1.1.1 Ricci-平均曲率流9-11
• 1.1.2 Self-shrinker與f-極小超曲面11-13
• 1.1.3 聯(lián)絡(luò)Ricci流13-15
• 1.2 主要的結(jié)果15-19
• 1.2.1 Ricci-平均曲率流的收斂性問題16
• 1.2.2 M~n×R中f-極小超曲面的F穩(wěn)定性16-17
• 1.2.3 3維閉流形的聯(lián)絡(luò)Ricci流的奇點(diǎn)分類17-19
• 第二章 超曲面在Ricci-平均曲率流下的形變19-45
• 2.1 準(zhǔn)備工作19-22
• 2.2 規(guī)范化Ricci流下的曲率估計(jì)22-29
• 2.3 超曲面的拼擠估計(jì)29-40
• 2.4 平均曲率的導(dǎo)數(shù)估計(jì)40-42
• 2.5 定理1.1.1的證明42-45
• 第三章 M~n×R中f-極小超曲面的F-穩(wěn)定性45-59
• 3.1 準(zhǔn)備知識(shí)45-48
• 3.2 第一變分與f-極小超曲面48-51
• 3.3 F_a(∑)的第二變分51-56
• 3.4 M~n×R中的F-穩(wěn)定的f-極小超曲面56-59
• 第四章 3維閉流形的聯(lián)絡(luò)Ricci流的奇點(diǎn)59-85
• 4.1 準(zhǔn)備工作59-60
• 4.2 發(fā)展方程60-66
• 4.3 例子與特殊解66-70
• 4.4 聯(lián)絡(luò)Ricci流的奇點(diǎn)70-85
• 參考文獻(xiàn)85-93
• 致謝93-95
• 簡歷95-97
• 發(fā)表和錄用的文章目錄97

【共引文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1055283