本文關(guān)鍵詞：分數(shù)階Yamabe問題的一些緊性結(jié)果

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【摘要】：歐氏空間Rn上的分數(shù)階Laplace算子(-△Rn)γ,γ∈(0,1),在調(diào)和分析及隨機偏微分方程中已有廣泛的研究.但由于(-△Rn)γ是非局部的算子,所以局部的分析方法不能直接應(yīng)用.于是Caffarelli和Silvestre將(-△Rn)γ等價成高一維的上半空間R+n+1中的邊界退化的二階橢圓型方程對應(yīng)的Dirichlet到Neumann算子,從而將非局部的微分方程轉(zhuǎn)化成局部化的退化橢圓方程邊值問題來研究.對于黎曼流形的情形,對應(yīng)的分數(shù)階Laplace算子的等價退化橢圓方程邊值問題解的Dirichlet到Neumann算子,則由Chang和Gonzalez在漸近雙曲黎曼流形上給出.在漸近雙曲流形上通過散射算子來定義分數(shù)階共形Laplace算子,并導(dǎo)出與其等價的具有邊界退化性質(zhì)的延拓微分算子.利用分數(shù)階共形Laplace算子,Gonzalez和Qing提出了分數(shù)階Yamabe型問題,并對于一些具有幾何約束條件的情形,證明了分數(shù)階Yamabe方程解的存在性.本文從先驗估計的角度考慮分數(shù)階Yamabe問題,通過研究與分數(shù)階Yamabe問題等價的退化橢圓方程的Dirichlet到Neumann邊值問題,證明了分數(shù)階Yamabe方程解的緊性.本學(xué)位論文的第一章介紹了研究背景以及我們?nèi)〉玫闹饕Y(jié)果.第二章中研究了關(guān)于分數(shù)階Yamabe方程相關(guān)的Palais-Smale序列的全局緊性,即對于分數(shù)階Yamabe方程的漸近弱解,證明了漸近弱解在減去有限個氣泡以后,在加權(quán)Sobolev范數(shù)意義下,強收斂到極限情形的分數(shù)階Yamabe方程的解,并且漸近弱解的能量具有可分性,剛好等于極限解的能量與有限個氣泡的能量之和.同時在本章中我們也分析了氣泡之間的非干擾性.第三章主要研究了分數(shù)階Yamabe方程真正弱解的緊性.在維數(shù)為4的漸近雙曲黎曼流形上,當(dāng)γ∈(3/8,1/2)時我們證明了分數(shù)階Yamabe方程解集的緊性.利用反證法,如果方程的解集是非緊的,則在其解集中存在爆破的解列,于是可以找到對應(yīng)的爆破點列,即爆破解列所對應(yīng)的最大值點列.由爆破分析的技術(shù),證明爆破點一定是簡單孤立爆破點.再利用Pohozaev'恒等式的符號限制估計,并假設(shè)對應(yīng)的退化橢圓算子的正質(zhì)量定理成立,最后得出矛盾.于是證明出解集是非爆破的,即解是一致有界的.從而通過正則性估計得到解的緊性.
【關(guān)鍵詞】：分數(shù)階共形Laplace算子 分數(shù)階Yamabe問題 Palais-Smale序列 漸近雙曲黎曼流形 簡單孤立爆破點 Green函數(shù) Pohozaev恒等式 正質(zhì)量定理
【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O177
【目錄】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-9
• 第一章 緒論9-13
• 第二章 與分數(shù)階Yamabe方程相關(guān)的Palais-Smale序列的全局緊性13-43
• 2.1 研究背景及主要結(jié)果13-20
• 2.2 準備知識20-28
• 2.3 第一個氣泡的分析28-38
• 2.4 主要結(jié)論的證明38-42
• 2.5 附錄42-43
• 第三章 分數(shù)階Yamabe方程解的緊性43-75
• 3.1 研究背景及主要結(jié)果43-47
• 3.2 幾種爆破點的定義47-48
• 3.3 爆破點都是孤立爆破點48-53
• 3.4 孤立爆破點都是簡單孤立爆破點53-54
• 3.5 關(guān)于爆破點的一些估計54-60
• 3.6 Pohozaev恒等式及符號限制60-74
• 3.7 附錄74-75
• 參考文獻75-79
• 致謝79-81
• 在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的研究成果81

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