填充系統(tǒng)定義為低維空間中不重疊凸體的集合。自然界中廣泛存在著跨尺度的填充系統(tǒng),例如描述液體結構的三維硬球系統(tǒng)、納米顆粒的自組裝結構、細胞組織結構、以及宏觀顆粒介質等。研究者們關注從離散顆粒尺度到整體填充系統(tǒng)的集合效應。其中,描述靜態(tài)填充結構的核心指標為填充率,其定義為顆�？傮w積占填充空間體積之比;以及配位數(shù),其定義為每個顆粒與周圍顆粒的平均接觸數(shù)。無序阻塞填充（或隨機密填充）主要適用于宏觀非平衡態(tài)的無摩擦顆粒介質,對應于隨機生成的保持力學穩(wěn)定的最低填充率。三維無摩擦球體的無序阻塞填充率φJ≈0.64被大量實驗和數(shù)值模擬驗證。近年來,非球體顆粒的無序阻塞填充受到關注,然而缺乏系統(tǒng)性的綜合討論。并且,有關耦合的顆粒粒徑與形狀多分散填充的研究幾乎空白。本文以數(shù)值模擬的方法研究了非球體顆粒的單分散和多分散無序阻塞填充。本文考慮了具有廣泛代表性的顆粒模型,包括球柱、橢球、超橢球、以及球多面體。對于單分散無序阻塞填充,本文系統(tǒng)研究了φJ和配位數(shù)z與顆粒形狀間的關系。隨著顆粒非球度A增加（形狀偏離球體）φJ從～0.64呈先增加后減小的趨勢。相當一部分顆粒的無序阻塞填充是欠靜定的,即配位數(shù)z<z... 

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【學位級別】：博士

【部分圖文】：

(a)球柱；(b)橢球；(c)球正四面體；(d)球立方體

北京大學博士學位論文圖2.2代表性的超橢球形狀隨p和w的變化�？梢曌髌涮乩161]。質心在原點的超橢球可定義為|x|2p+|yw1|2p+|zw2|2p=1(2.3)這里我們對超橢球的尺度做了歸一化，其中w1，w2為上文所述的兩個軸比（軸比的定義與上述橢球相同），p為控制超橢球形狀的參數(shù)。沒有軸比效應即w1=w2=w=1時，模型描述了超球顆粒[63]。p=1時超橢球退化為橢球，p逐漸減小至0.5形狀逼近八面體，而p增大至正無窮則形狀逼近長方體。圖2.2展示了代表性的超橢球形狀隨p和w的變化，其包含了球體（p=w=1）、超球、橢球、和其余超橢球。另外，區(qū)別于特殊情況下的單一軸比參數(shù)w，我們定義β=w1w2來衡量顆粒的整體軸比效應，β>1時形狀是長的，反之則為扁的。為了一般性描述非球（凸體）顆粒的形狀，我們定義球形度為[106]Ψ=(4π)1/3(3Vp)2/3Ap(2.4)其中Vp和Ap分別為顆粒的體積與表面積。0≤Ψ≤1，球體對應于Ψ=1。五種柏拉圖體的球形度分別為：正四面體Ψ=0.671，立方體Ψ=0.806，正八面體Ψ=0.846，正十二面體Ψ=0.910，和正二十面體Ψ=0.939。對本文考慮的三種球多面體，隨著球角度s的變化其Ψ可以連續(xù)從1演化至上述對應值。圖2.2右端接近立方體的超球（p=2）對應Ψ=0.956，接近1�？紤]到球體附近顆粒形狀的擾動會急劇影響填充性質，我們定義非球度A=1Ψ。對于旋轉橢球和一類只有單軸效應（β=w）的超橢球（p=2），其軸比與A的關系如圖2.3所示。一般的具有雙軸效應的形狀的(A,β)基14

第二章模型與方法圖2.3扁橢球（oblate）、長橢球（prolate）、p=2的超橢球（SEP）的整體軸比β與非球度A的關系。本（并不嚴格）處于長短橢球兩條曲線構成的區(qū)域內。A=0.3對應于長橢球w≈6和扁橢球w≈0.25，w和w1的對稱性僅在球附近即A較小時成立。本文考慮的非球形顆粒主要在A≤0.3這一區(qū)域。2.2顆粒的接觸判斷與相互作用本文主要采用數(shù)值方法生成各種顆粒系統(tǒng)的無序阻塞填充。這一過程的前提是確定顆粒間的兩體相互作用，其依賴于顆粒間的接觸本構關系。它們在不同的系統(tǒng)中可以表現(xiàn)為不同的形式，但都基于顆粒的幾何接觸判斷。具體來說，在硬顆粒系統(tǒng)中我們只需要判斷臨近顆粒接觸與否，而在（純推斥力）軟顆粒系統(tǒng)中則需要具體定義顆粒重疊與作用力的本構關系。軟顆粒間的作用力應定義為勢能的梯度，這一要求在本文中除內核相交的球多面體以外均得到滿足。另一方面，具有解析表達式的超橢球類顆粒的幾何接觸算法依賴數(shù)值迭代，而其余顆粒只需要不同復雜程度的浮點運算。接下來我們分別介紹不同顆粒的接觸判斷，下一節(jié)則提及如何在填充算法中具體利用這些相互作用。粗略地看，當顆粒幾何描述完全一致時，顆粒間作用力本構關系的不同定義方式對靜態(tài)填充性質影響不大。注意到組合球模型由于一定程度的表面凹陷可能會違背這一論斷。15


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