本文主要考慮將懲罰區(qū)域增收的保費(fèi)用添加免賠額的方式替代的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)， 研究該系統(tǒng)中投保人的最優(yōu)自留額的確定問(wèn)題，并分析了系統(tǒng)平均最優(yōu)自留額與免賠額之間的關(guān)系。

 

　　2 相關(guān)變量及假設(shè)

 

　　設(shè)一個(gè)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)有s個(gè)等級(jí)，等級(jí)i的獎(jiǎng)懲系數(shù)為Ci,i=1,2,3,…，s，本文采用Lemaire關(guān)于BMS平均最優(yōu)自留額分析的基本假設(shè)：

 

　　經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 29卷第1期孫景云等：帶有免賠額調(diào)整的車險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)及其最優(yōu)自留額

 

　　1）設(shè)每個(gè)投保人的事故發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程，設(shè)每次的損失金額為隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)為F（x），密度函數(shù)為f（x），且事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨(dú)立；

 

　　2）保單組合中不含有新增保單，也不會(huì)有退保保單；

 

　　3）自留額的計(jì)算是建立在無(wú)限時(shí)域假設(shè)之下，即保單持有人將永遠(yuǎn)開(kāi)車并投保；

 

　　4）使用年中折現(xiàn)因子β，認(rèn)為所有賠款都發(fā)生在每個(gè)保險(xiǎn)年度的中點(diǎn)；

 

　　5）P是基礎(chǔ)保費(fèi)，即獎(jiǎng)懲系數(shù)等于1時(shí)的毛保費(fèi)，其中包含了安全附加，管理費(fèi)用等；

 

　　6）1－t為到下一保單年度的剩余時(shí)間，t（0≤＜1）是投保人決定是否向保險(xiǎn)公司報(bào)告索賠的決策時(shí)刻；

 

　　7）m是在時(shí)間段［0,t］內(nèi)當(dāng)期已經(jīng)報(bào)告的索賠次數(shù)。

 

　　在有些獎(jiǎng)懲系統(tǒng)（特別是最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中）的懲罰等級(jí)中收取的保費(fèi)要比初始保費(fèi)高很多，有的甚至能達(dá)到2~3倍（參見(jiàn)文獻(xiàn)［4］）。這種情況下會(huì)導(dǎo)致某些投保人轉(zhuǎn)向其他保險(xiǎn)公司，文獻(xiàn)［4］利用無(wú)差別原理將懲罰級(jí)別中的增收保費(fèi)的部分或全部用添加免賠額的方式來(lái)轉(zhuǎn)變懲罰方式，從而盡可能避免了保單轉(zhuǎn)移，還可以減少小額賠款帶來(lái)的大量管理費(fèi)用。免賠額的類型通常有兩種，一種是對(duì)每個(gè)保單一年內(nèi)總索賠的年免賠額，另一種是對(duì)每個(gè)保單每次的索賠設(shè)置次免賠額。本文所涉及的免賠額為次免賠額，采用類似文獻(xiàn)［4］的思想，對(duì)一個(gè)有s個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，若從第k+1個(gè)等級(jí)開(kāi)始，獎(jiǎng)懲系數(shù)Ci＞1,i=k+1, k+2,…，s，利用無(wú)差別原理，根據(jù)增收保費(fèi)轉(zhuǎn)移比例確定不同等級(jí)次免賠額di,i=k+1,k+2, …，s.若將增收保費(fèi)中比例為α（0≤α≤1）的部分用添加次免賠額的方式替代，則懲罰級(jí)別中的免賠額可用下式確定

 

　　CiP=P*i+λE［min{X,di}］，（1）

 

　　其中，P*i=P+（Ci-1）P（1-α）是保險(xiǎn)公司對(duì)處于第i等級(jí)投保人實(shí)際收取的保費(fèi)，化簡(jiǎn)得

 

　�。–i－1）Pα=λE［XX＜di］·p{X＜di}

 

　　+λdi·p{X＞di}.（2）

 

　　顯然，不管α取什么值，對(duì)前k個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)，可認(rèn)為di=0,i=1,2,…，k，懲罰等級(jí)中的免賠額可由式（2）算出（有些情況下需要數(shù)值計(jì)算）。當(dāng)α=0時(shí)，增收的保費(fèi)并沒(méi)有用免賠額替代，故所有等級(jí)di=0;而當(dāng)α=1時(shí)，說(shuō)明懲罰級(jí)別中的增收的保費(fèi)全部用免賠額替代了。

 

　　設(shè)R=（r1,r2,r3,…，rs）是系統(tǒng)的最優(yōu)自留額向量，即若投保人按照該向量決策，處在等級(jí)i的投保人，只有當(dāng)實(shí)際的損失超過(guò)ri時(shí)才會(huì)向保險(xiǎn)公司報(bào)告索賠。顯然，當(dāng)i=1,2,3,…，k時(shí)，ri≥0;當(dāng)i=k+1,k+2,…，s時(shí)，應(yīng)有ri≥di.

 

　　3 最優(yōu)自留額的計(jì)算

 

　　對(duì)于事故發(fā)生頻率為λ的保單組合，在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)發(fā)生次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson分布，設(shè)事故發(fā)生k次的概率為Pk（λ），處于第i等級(jí)的投保人若嚴(yán)格按照最優(yōu)自留額向量決策，則其不向保險(xiǎn)公司報(bào)告損失的概率為Pi，則Pi=p{X≤ri}，在一個(gè)保險(xiǎn)期中報(bào)告k次損失的概率為Pik（λ），則

 

　　Pik（λ）=∑∞h=kPh(huán)（λ）Ckh(huán)（1-Pi）kPh-ki.（3）

 

　　從而在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)報(bào)告的索賠次數(shù)的期望為λi=∑∞k=0kPik（λ）。根據(jù)Poisson過(guò)程的隨機(jī)稀疏定理， 易知λi=λ（1－Pi），即投保人向保險(xiǎn)公司索賠的次數(shù)服從參數(shù)為λ（1－Pi）的Poisson過(guò)程。一次未報(bào)告索賠額的期望值為

 

　　Ei［X］=E［XX＜ri］=1Pi∫ri0xf（x）dx.（4）

 

　　由于假設(shè)事故發(fā)生次數(shù)與損失額相互獨(dú)立，則投保人支付的未報(bào)告索賠額為Ei［X］（λ－λi），從而在第i個(gè)等級(jí)中的投保人在一個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)支付的期望總費(fèi)用的現(xiàn)值為

 

　　E［TCi］=CiP+β12Ei［X］（λ－λi），

 

　　i=1,2,…，筆耕文化傳播，k;P*i+β12Ei［X］（λ－λi）+β12λidi, i=k+1,k+2,…，s. （5）

 

　　設(shè)Vi（λ）表示第i等級(jí)投保人未來(lái)所有期望支付的貼現(xiàn)值， 即

 

　　Vi（λ）=E［TCi］+β∑∞k=0Pik（λ）VTk（i）（λ）。 （6）

 

　　這里Tk（i）=j表示等級(jí)為i的投保人在一個(gè)保險(xiǎn)期發(fā)生k次索賠后處于第j等級(jí)。 設(shè)投保人在時(shí)刻t發(fā)生損失為x時(shí)，已有m次索賠，此時(shí)將面臨兩種選擇：

 

　　1）若報(bào)告索賠，此時(shí)總費(fèi)用的期望值為

 

　　β－tE［TCi］+min {x,di}

 

　　+β1－t∑∞k=0Pik［λ（1－t）］VTk+m+1（i）（λ）。（7）

 

　　2）若不報(bào)告索賠， 此時(shí)總費(fèi)用的期望值為

 

　　β－tE［TCi］+x+β1－t∑∞k=0Pik［λ（1－t）］VTk+m（i）（λ）。 （8）

 

　　最優(yōu)自留額的選取應(yīng)使上述兩種行為在總費(fèi)用上結(jié)果相等， 即式（7）=式（8）， 從而滿足方程

 

　　x－min {x,di}=β1－t∑∞k=0Pik［λ（1－t）］·

 

　�。踁Tk+m+1（i）（λ）－VTk+m（i）（λ）］。

 

　　令x=ri，又因ri≥di，即

 

　　ri=di+β1－t∑∞k=0Pik［λ（1－t）］·

 

　�。踁Tk+m+1（i）（λ）－VTk+m（i）（λ）］。 （9）

 

　　要計(jì)算出最優(yōu)自留額的具體數(shù)值需要使用迭代算法， 具體的迭代過(guò)程為：

 

　　步驟1 設(shè)初始自留額向量為R0=（0,0,…，0,dk+1,dk+2,…，ds）， 即只要超過(guò)免賠額的損失都向保險(xiǎn)公司索賠，此時(shí)式（6）可轉(zhuǎn)換為形式：

 

　　V［0］i（λ）=CiP+β∑∞h=0Ph(huán)（λ）VTh(huán)（i）（λ），

 

　　i=1,2,…，k;

 

　　P*i+β12λ［∫di0xf（x）dx+（1－P'i）di］

 

　　+β∑∞k=0ik（λ）VTk（i）（λ），

 

　　i=k+1,k+2,…，s， （10）

 

本文編號(hào)：5254