本文關鍵詞： 低差分一致性函數(shù) PN函數(shù) APN函數(shù) 差分4一致置換 Bent函數(shù) Semi-bent函數(shù) 完全置換多項式 置換多項式 線性碼 循環(huán)碼 重量分布　出處：《南京航空航天大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：低差分一致性函數(shù)和Bent函數(shù)在密碼學(分組密碼和流密碼設計)、編碼理論(Reed-Muller碼和二重碼)、結(jié)合方案、序列設計、圖論(強正則圖)、組合設計等領域有著重要的應用.本文主要對置換多項式構(gòu)造、差分4一致置換函數(shù)構(gòu)造、APN函數(shù)構(gòu)造、Bent函數(shù)構(gòu)造和這兩類函數(shù)在構(gòu)造線性碼中的應用等幾個方面進行了研究.基于Dobbertin提出的方法,利用指數(shù)和的性質(zhì),研究了有限域F32m上的兩類形如v-1x3m+2和v-1x2·3m+3完全置換單項式的構(gòu)造.有趣的是,第二類完全置換多項式v-1x2·3m+3和Dickson多項式密切相關.基于萬大慶教授的一個重要結(jié)果,我們構(gòu)造了奇特征域Fp2m上的第S類完全置換多項式v-1xs(pm-1)+1.同時,我們確定了這三類完全置換多項式的復合逆,推廣了Tu等人關于形如(xpm-x+δ)t(pm±1)+1 +L(x)置換多項式的構(gòu)造,得到了幾類具有新指數(shù)的這種置換多項式,新構(gòu)造的置換多項式具有更靈活的參數(shù)t.基于交織技術,研究了偶特征域上差分4 一致置換函數(shù)和奇特征域上APN函數(shù)的構(gòu)造.以現(xiàn)有的APN函數(shù)為基礎,利用Gold型APN函數(shù),得到了兩類新的差分4一致分段函數(shù);以現(xiàn)有的PN函數(shù)為基礎,利用Gold型PN函數(shù),構(gòu)造了兩類新的奇特征域上的APN函數(shù).通過確定有限域上某些方程的解數(shù),得到了奇特征域上兩個低差分一致性置換函數(shù).2015年,Mesnager利用布爾函數(shù)的差分函數(shù),證明了某些Bent函數(shù)添加兩個線性函數(shù)乘積仍然是Bent函數(shù)的結(jié)論.本文繼續(xù)Mesnager的工作,以Walsh譜理論為主要工具,研究Bent函數(shù)添加多個線性函數(shù)乘積得到的新函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)造更多的Bent函數(shù)、Near-bent函數(shù)、Semi-bent函數(shù)等Plateaued函數(shù).本文研究表明,通過在某些Bent函數(shù)添加兩個線性函數(shù)這種方法不但可以得到新的Bent函數(shù),而且可以獲得新的Near-bent函數(shù)、Semi-bent函數(shù)等具有低Walsh譜的函數(shù).建立了PN函數(shù)、APN函數(shù)和最優(yōu)循環(huán)碼的聯(lián)系.我們利用PN函數(shù)和逆函數(shù)構(gòu)造了參數(shù)為[pm-1,pm-2m-2,4]p元優(yōu)循環(huán)碼;根據(jù)e的奇偶性,確定了5元循環(huán)碼碼C(1,e)的最小距離是2或3.為了得到5元優(yōu)的循環(huán)碼,我們研究了碼C(1,e)的一類子碼C(0,1,e),利用F5m上的PN函數(shù)和APN函數(shù)以及其他的單項式函數(shù)構(gòu)造了參數(shù)為[5m-1,5m-2m-2,4]5元優(yōu)循環(huán)碼.最后,論文研究了具有低Walsh譜函數(shù)在構(gòu)造線性碼中的應用.基于新構(gòu)造的非二次不屬于RF集合的p元Bent函數(shù),構(gòu)造了p元三重、四重線性碼,并確定了三重線性碼的重量分布.基于非二次函數(shù) 的Walsh變換,通過分析Fp2的p-1階分圓陪集的性質(zhì),確定Fp*中元素分別歸屬于Fp2*的哪一個分圓陪集,構(gòu)造了一類P元二重碼并給出了這類二重碼的完全重量分布.
[Abstract]:In this paper , we have studied the structure of two kinds of permutation polynomials , such as v - 1x3m + 2 and v - 1x2 路 3m + 3 , which are based on the existing APN functions .

【學位授予單位】：南京航空航天大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：TN918.1;O174

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本文編號：1465206