在信號的奇異值分解中,非零奇異值是信號的重要特征參數(shù),其變化對特征提取結(jié)果有重要影響。研究了非零奇異值的變化特性,發(fā)現(xiàn)隨著矩陣維數(shù)的增大,正弦信號的非零奇異值并不是單調(diào)上升的,而是在上升過程中存在周期性波動。進一步研究發(fā)現(xiàn),這種波動和原信號的頻率密切相關(guān),原信號的頻率越大,非零奇異值的波動速度就越快。從理論上對非零奇異值的這種變化規(guī)律進行了分析,證明了非零奇異值波動的快慢是由正弦信號的頻率決定的,而其波動基頻是原始信號頻率的兩倍,并通過數(shù)值模擬實例進行了驗證。 

【文章來源】：振動.測試與診斷. 2020,40(01)北大核心EICSCD

【文章頁數(shù)】：9 頁

【部分圖文】：

信號x3(t),x4(t)非零奇異值上升時的波動現(xiàn)象

進一步發(fā)現(xiàn)，隨著矩陣維數(shù)的增加，這兩個非零奇異值的大小會發(fā)生周期性的波動，可通過數(shù)值實驗來觀察這一現(xiàn)象。以4個不同頻率的正弦信號為例，x1(t)=1.25sin(2π6t+1.09),x2(t)=10.53×sin(2π18t+2.67),x3(t)=16.36sin(2π50t+0.75),x4(t)=29.71sin(2π80t+1.63)，這4個正弦信號的頻率、幅值及相位等參數(shù)各不相同，以1 k Hz的采樣頻率對其分別采集1 024點數(shù)據(jù)，對每一個信號構(gòu)造不同維數(shù)的Hankel矩陣。因信號長度L=1 024，根據(jù)前面的分析，矩陣行數(shù)m=L/2時，奇異值數(shù)量達到最大值L/2，因此這里將矩陣行數(shù)從m=3一直遞增到m=512，計算每一個矩陣的奇異值。其中，SVD的計算采用文獻[14]提出的多次分割雙向收縮正交-右三角(quadrature right-triangle，簡稱QR)算法實現(xiàn)，它克服了單項收縮QR算法在處理大型矩陣時收斂較慢、有時收斂長時停滯等缺陷[15]，對任何大型矩陣都可以實現(xiàn)快速的SVD計算。得到每個信號的各個奇異值隨矩陣行數(shù)的變化如圖1所示。從圖1可以看到，雖然4個信號的頻率和幅值都是逐步增大的，但是在不同維數(shù)的矩陣下，每個信號都只有兩個非零奇異值，從第3個奇異值開始的后續(xù)奇異值在所有的矩陣下都是零。對于這兩個非零奇異值的具體大小，可以看到隨著矩陣行數(shù)的增加，兩個非零奇異值總的趨勢是增大的，但是在上升過程中存在周期性波動。圖1(a),(b)的波動很明顯，如果畫出圖1(c),(d)的局部，可以看出同樣也存在著周期性波動，如圖2所示。從圖1(a),(b)及圖2來看，原始信號的頻率越高，其非零奇異值的波動也越快，并且這兩個奇異值的波動是反相的。如果采用其他頻率的信號，也可得到類似圖1,2的結(jié)果，即只要矩陣維數(shù)大于2，不管信號的頻率值和幅值如何，每個頻率只有兩個非零奇異值，而這兩個非零奇異值在上升時存在周期性波動，原信號頻率越高，奇異值的波動越快，且兩個奇異值的波動是反相的。

實際上，奇異值的波動不受噪聲影響是有其內(nèi)在原因的，因為奇異值分解本身就具有消噪功能，根據(jù)文獻[13]的研究結(jié)果，對含噪信號進行奇異值分解，在得到的奇異值序列中，原信號中的確定性信號的奇異值和噪聲的奇異值將會被分開，確定性信號的奇異值會排列在奇異值序列的前部，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會緊接著排在后面，選擇前面的奇異值進行重構(gòu)，可得到消除噪聲的結(jié)果，這就是奇異值分解的消噪原理。正是因為奇異值分解對噪聲的這種分離特性，因此噪聲對確定性信號的奇異值的波動沒有什么影響，含噪信號的奇異值的波動依然存在，依然非常干凈，其頻率結(jié)構(gòu)依然沒有改變。圖4 一個含噪正弦信號及其奇異值

【參考文獻】：
期刊論文
[1]信號有效奇異值的數(shù)量規(guī)律及其在特征提取中的應(yīng)用[J]. 趙學(xué)智,聶振國,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.  振動工程學(xué)報. 2016(03)
[2]基于奇異值分解的侵徹過載信號降噪方法[J]. 趙海峰,張亞,李世中,郭燕.  振動.測試與診斷. 2015(04)
[3]基于信息熵的渦旋壓縮機振動信號分析[J]. 鄔再新,劉濤,黃成東.  振動.測試與診斷. 2014(01)
[4]單向收縮QR算法在奇異值分解中的收斂特性[J]. 趙學(xué)智,葉邦彥.  電子科技大學(xué)學(xué)報. 2010(05)
[5]大型矩陣奇異值分解的多次分割雙向收縮QR算法[J]. 趙學(xué)智,葉邦彥,陳統(tǒng)堅.  華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版). 2010(01)



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