在信號(hào)的奇異值分解中,非零奇異值是信號(hào)的重要特征參數(shù),其變化對特征提取結(jié)果有重要影響。研究了非零奇異值的變化特性,發(fā)現(xiàn)隨著矩陣維數(shù)的增大,正弦信號(hào)的非零奇異值并不是單調(diào)上升的,而是在上升過程中存在周期性波動(dòng)。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),這種波動(dòng)和原信號(hào)的頻率密切相關(guān),原信號(hào)的頻率越大,非零奇異值的波動(dòng)速度就越快。從理論上對非零奇異值的這種變化規(guī)律進(jìn)行了分析,證明了非零奇異值波動(dòng)的快慢是由正弦信號(hào)的頻率決定的,而其波動(dòng)基頻是原始信號(hào)頻率的兩倍,并通過數(shù)值模擬實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。 

【文章來源】：振動(dòng).測試與診斷. 2020,40(01)北大核心EICSCD

【文章頁數(shù)】：9 頁

【部分圖文】：

信號(hào)x3(t),x4(t)非零奇異值上升時(shí)的波動(dòng)現(xiàn)象

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，隨著矩陣維數(shù)的增加，這兩個(gè)非零奇異值的大小會(huì)發(fā)生周期性的波動(dòng)，可通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來觀察這一現(xiàn)象。以4個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)為例，x1(t)=1.25sin(2π6t+1.09),x2(t)=10.53×sin(2π18t+2.67),x3(t)=16.36sin(2π50t+0.75),x4(t)=29.71sin(2π80t+1.63)，這4個(gè)正弦信號(hào)的頻率、幅值及相位等參數(shù)各不相同，以1 k Hz的采樣頻率對其分別采集1 024點(diǎn)數(shù)據(jù)，對每一個(gè)信號(hào)構(gòu)造不同維數(shù)的Hankel矩陣。因信號(hào)長度L=1 024，根據(jù)前面的分析，矩陣行數(shù)m=L/2時(shí)，奇異值數(shù)量達(dá)到最大值L/2，因此這里將矩陣行數(shù)從m=3一直遞增到m=512，計(jì)算每一個(gè)矩陣的奇異值。其中，SVD的計(jì)算采用文獻(xiàn)[14]提出的多次分割雙向收縮正交-右三角(quadrature right-triangle，簡稱QR)算法實(shí)現(xiàn)，它克服了單項(xiàng)收縮QR算法在處理大型矩陣時(shí)收斂較慢、有時(shí)收斂長時(shí)停滯等缺陷[15]，對任何大型矩陣都可以實(shí)現(xiàn)快速的SVD計(jì)算。得到每個(gè)信號(hào)的各個(gè)奇異值隨矩陣行數(shù)的變化如圖1所示。從圖1可以看到，雖然4個(gè)信號(hào)的頻率和幅值都是逐步增大的，但是在不同維數(shù)的矩陣下，每個(gè)信號(hào)都只有兩個(gè)非零奇異值，從第3個(gè)奇異值開始的后續(xù)奇異值在所有的矩陣下都是零。對于這兩個(gè)非零奇異值的具體大小，可以看到隨著矩陣行數(shù)的增加，兩個(gè)非零奇異值總的趨勢是增大的，但是在上升過程中存在周期性波動(dòng)。圖1(a),(b)的波動(dòng)很明顯，如果畫出圖1(c),(d)的局部，可以看出同樣也存在著周期性波動(dòng)，如圖2所示。從圖1(a),(b)及圖2來看，原始信號(hào)的頻率越高，其非零奇異值的波動(dòng)也越快，并且這兩個(gè)奇異值的波動(dòng)是反相的。如果采用其他頻率的信號(hào)，也可得到類似圖1,2的結(jié)果，即只要矩陣維數(shù)大于2，不管信號(hào)的頻率值和幅值如何，每個(gè)頻率只有兩個(gè)非零奇異值，而這兩個(gè)非零奇異值在上升時(shí)存在周期性波動(dòng)，原信號(hào)頻率越高，奇異值的波動(dòng)越快，且兩個(gè)奇異值的波動(dòng)是反相的。

實(shí)際上，奇異值的波動(dòng)不受噪聲影響是有其內(nèi)在原因的，因?yàn)槠娈愔捣纸獗旧砭途哂邢牍δ�，根�?jù)文獻(xiàn)[13]的研究結(jié)果，對含噪信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，在得到的奇異值序列中，原信號(hào)中的確定性信號(hào)的奇異值和噪聲的奇異值將會(huì)被分開，確定性信號(hào)的奇異值會(huì)排列在奇異值序列的前部，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會(huì)緊接著排在后面，選擇前面的奇異值進(jìn)行重構(gòu)，可得到消除噪聲的結(jié)果，這就是奇異值分解的消噪原理。正是因?yàn)槠娈愔捣纸鈱υ肼暤倪@種分離特性，因此噪聲對確定性信號(hào)的奇異值的波動(dòng)沒有什么影響，含噪信號(hào)的奇異值的波動(dòng)依然存在，依然非常干凈，其頻率結(jié)構(gòu)依然沒有改變。圖4 一個(gè)含噪正弦信號(hào)及其奇異值

【參考文獻(xiàn)】：
期刊論文
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[3]基于信息熵的渦旋壓縮機(jī)振動(dòng)信號(hào)分析[J]. 鄔再新,劉濤,黃成東.  振動(dòng).測試與診斷. 2014(01)
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