【摘要】：本文主要研究兩類非線性發(fā)展方程:非線性Schrodinger方程和磁流體力學(xué)(MHD)方程組.Schrodinger方程是一類用來描述微觀粒子的狀態(tài)隨時間變化規(guī)律的方程.磁流體力學(xué)方程組是一類用來描述導(dǎo)電流體(如等離子體等)與電磁場之間的相互作用及影響.本文主要分為四個部分,第一部分作為緒論,主要介紹Schrodinger方程和磁流體力學(xué)方程組的起源及其研究進(jìn)展.第二部分主要研究了導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程的Cauchy問題,在不添加任何輔助空間的條件下,證明了導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程在低正則性空間中的無條件唯一性.第三部分首先研究了在初始值遠(yuǎn)離真空狀態(tài)下,可壓縮磁流體力學(xué)方程組在T2上的正則解的大時間存在性;其次研究了當(dāng)體積粘度趨于無窮大時,可壓縮磁流體力學(xué)方程組收斂于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組,并且得到了可壓縮磁流體力學(xué)方程組的解的收斂速率.第四部分主要研究在初始密度允許真空狀態(tài)且不要求任何正則性或者沒有正下界以及初始值不滿足任何兼容性條件時,不可壓縮磁流體力學(xué)方程組在T2上是全局適定的.第二章,主要研究如下導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程的Cauchy問題,證明了對任意的s ∈(2/3,1],導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程(0-1)在空間C([0,T];Hs(R))中的無條件唯一性.即在不添加任何輔助空間(如Bourgain空間等)的條件下,導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程在低正則性空間C([0,T];Hs(R))中的解是唯一存在的.首先,我們需要對導(dǎo)數(shù)非線性Schrodinger方程運(yùn)用合適的規(guī)范變換,使得原來方程的非線性得到提高;其次,利用范數(shù)理論,共振分解及Bourgain空間理論逐步證明初始正則性,提高正則性,經(jīng)過迭代獲得最高的正則性;最后,利用壓縮映射原理,得到解的唯一性.第三章,主要研究如下可壓縮磁流體力學(xué)方程組首先,當(dāng)不允許初始值出現(xiàn)真空狀態(tài)時,證明了可壓縮磁流體力學(xué)方程組在T2上對任意正則的初值和任意固定的時間T0,存在v0使得對任意的v≥v0,方程組的正則解的大時間存在性.更準(zhǔn)確地說,第一步先建立可壓縮磁流體力學(xué)方程組的解的L2估計與H1估計;第二步給出假設(shè)條件Aq(T)≤c0(2 ≤q),利用輸運(yùn)方程的可積性缺失估計,嵌入定理以及拋物方程的最大正則性估計得到||%濺褆|L∞(0,T;L2)的約束估計;第三步利用拋物方程的最大正則性估計和系鞋帶理論對給出的假設(shè)條件的合理性予以證明,從而獲得正則解的大時間存在性.其次,利用投影算子可推出可壓縮磁流體力學(xué)方程組(0-2)的不可壓形式,結(jié)合能量估計證明了當(dāng)體積粘性系數(shù)v趨于正無窮時,可壓縮磁流體力學(xué)方程組(0-2)收斂于如下不可壓縮磁流體力學(xué)方程組并且得到了可壓縮磁流體力學(xué)方程組與不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的解的收斂速率與體積粘性系數(shù)v成反比.第四章,主要研究下列不可壓縮磁流體力學(xué)方程組證明了當(dāng)密度ρ,速度場u,磁場b滿足0≤ρ≤ρ*,M:=∫T2 ρ0dx0,u0,b0 ∈ H1(T2),而且密度沒有任何正則性或正下界時,非齊次不可壓縮磁流體力學(xué)方程組(0-4)的解是全局適定的.更準(zhǔn)確地說,當(dāng)初始值不滿足相容性條件,那么需要引進(jìn)材料導(dǎo)數(shù)u=ut+u·%絬,從而得到||u||L2的有界性.另一方面,由于密度戶沒有任何正則性,則在一般的歐拉坐標(biāo)系中難以得到解的唯一性,必須變換坐標(biāo)系,利用拉格朗日坐標(biāo)系的特點(diǎn)去克服這一困難,從而得到解的唯一性.
【學(xué)位授予單位】：華南理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號】：O175;O361.3

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本文編號：2771139