【摘要】：本文研究的是不可壓縮流體和多孔介質(zhì)流耦合問題的mortar元算法.此類模型有多種應(yīng)用:可用來分析干旱地區(qū)洪水的影響,描述血液在動脈血管中的流動規(guī)律,模擬河流、湖泊中污染物透過河床進入地下水的過程.該耦合問題由不同的偏微分方程構(gòu)成,Navier-Stokes方程用來描述不可壓縮流體的運動規(guī)律,而多孔介質(zhì)流滿足Darcy法則.交界面條件為:質(zhì)量守恒定律、力的平衡性條件和Beavers-Joseph-Saffman法則.工作主要有以下三部分:第一、討論非線性、穩(wěn)態(tài)模型-Navier-Stokes方程與Darcy流耦合問題的mortar元算法.給出模型的數(shù)學(xué)表達式,建立了兩種等價的弱形式,區(qū)別在于是否含有交界面上的一致項.在假設(shè)流體的粘性系數(shù)和右端項滿足一定關(guān)系的條件下,借助于Galerkin方法和Brouwer不動點定理,我們對流速低的耦合問題證明了弱形式解的存在唯一性.采用三角形網(wǎng)格對區(qū)域進行剖分,在多孔介質(zhì)區(qū)域使用最低階Raviart-Thomas元,在自由流體區(qū)域采用Taylor-Hood元.選擇Navier-Stokes區(qū)域在交界面上的部分作為mortar,并且按照mortar元方法,構(gòu)建了離散流速解空間,給出了耦合問題的離散格式.我們分析了弱解和數(shù)值解間的誤差,其關(guān)于流體區(qū)域的剖分尺寸是二階收斂的,而關(guān)于多孔介質(zhì)區(qū)域的剖分尺寸是線性收斂的.為了求解由耦合問題所導(dǎo)致的非線性代數(shù)系統(tǒng),我們建立了一種迭代格式,并通過理論推導(dǎo)證明了迭代序列收斂到數(shù)值解.在數(shù)值計算中,取多孔介質(zhì)區(qū)域剖分尺寸等于流體區(qū)域剖分尺寸的平方.對于一組構(gòu)造出的真解,數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析.第二、研究線性、非穩(wěn)態(tài)模型-Stokes方程與Darcy流耦合問題的mortar元算法.在此模型中,Stokes方程中含有流速關(guān)于時間變量的偏導(dǎo)數(shù)項,所有交界面條件要求在任意時刻成立.我們證明了變分問題解的存在唯一性.在離散時,采用Bernardi-Raugel元來求解Stokes方程,在多孔介質(zhì)區(qū)域仍然使用最低階Raviart-Thomas元,采用向后Euler方法來得到全離散格式.不同于大多數(shù)在時間層上加權(quán)平均的結(jié)果,我們在每個時間步上給出了誤差估計的清晰表達式,其顯示誤差關(guān)于多孔介質(zhì)的剖分尺寸是一階收斂的,關(guān)于流體區(qū)域的剖分尺寸是線性收斂的,關(guān)于時間區(qū)間的剖分尺寸也是一階收斂的.在數(shù)值驗證的部分,取兩個子區(qū)域的剖分尺寸相等且等于時間區(qū)間的剖分尺寸.為了看到mortar方法逼近解的情況,我們給出真解和數(shù)值解的圖像.通過所給出的圖像和表格,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果與理論分析一致.第三、分析非線性、非穩(wěn)態(tài)模型-Navier-Stokes方程與Darcy流耦合問題的mor-tar元算法.在此問題中,Navier-Stokes方程和Darcy方程均帶有流速關(guān)于時間的偏導(dǎo)數(shù)項.由于大部分問題、困難在前兩部分工作中解決,所以這部分工作相對簡略.利用Galerkin方法和非線性常微分方程組解的存在唯一性理論,證明了變分問題的正則性.選擇與第二部分工作中相同的有限元離散,依然采用向后Euler方法來得到全離散格式.通過嚴(yán)格的理論分析,證明了弱解和數(shù)值解間的誤差估計.證明的過程需要借助于算子,而該算子是由第一部分工作中穩(wěn)態(tài)、非線性耦合問題的數(shù)值解所誘導(dǎo)的.以上三部分工作驗證了使用mortar元方法結(jié)合不同的有限元來求解非線性、非穩(wěn)態(tài)耦合問題是有效的.mortar元方法允許交界面上不匹配的網(wǎng)格,從而在子區(qū)域內(nèi)可以按照特定的要求靈活地選擇合適的有限元.所建立的mortar元格式既繼承了不同有限元獨立求解各自問題(Navier-Stokes、Darcy)的算法優(yōu)勢,又對交界面上的流量連續(xù)性有一個弱(積分意義)的表達.所得到的數(shù)值解在各自區(qū)域滿足局部流量連續(xù)性,這一性質(zhì)可避免人工質(zhì)量項,從而在求解帶傳質(zhì)方程的耦合問題的過程中具有優(yōu)勢.
【學(xué)位授予單位】：湘潭大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O35
【圖文】：

圖１：多孔介質(zhì)示意圖逡逑這種耦合系統(tǒng)可用來描述血液在動脈血管屮的流動規(guī)律，一方面血液在壓力作用下逡逑沿著血管流動，另？方面血液又透過血管壁與組織、器官進行物質(zhì)傳輸．圖２為血管逡逑示意圖，圖片源自Ｎ站視覺中國．逡逑？’Wｉ逡逑圖２：血管示意圖逡逑１逡逑

逑另一個更直觀的過程：表層水與地下水間的相互滲透．這里的表層水通常是指河流、逡逑湖泊中的水，而由巖石、泥沙所構(gòu)成的河床、湖底即為多孔介質(zhì)．圖３為河流、湖泊，逡逑圖片源自網(wǎng)站－視覺中國．逡逑邐邐■邋．Ｍ．．ＩＩＭＩ邋■逡逑圖３：河流與湖泊逡逑如今，全世界面臨著一個嚴(yán)重的環(huán)境問題：地下水污染．造成污染的原因通常是工逡逑廠、企業(yè)非法向河流、湖泊中排放未經(jīng)處理的廢水（污染源），之后河流、湖泊中的逡逑污染物通過河床進入地下水．如果將鹽也視為一種污染物，那么海水入侵也屬于此逡逑類過程，中國的許多沿海城市正在遭遇這個問題．在上述過程中均存在物質(zhì)的擴散、逡逑傳播和交換．我們的工作是數(shù)值模擬此類過程，為其它學(xué)科提供理論保障和數(shù)據(jù)支逡逑撐．耦合模型通常由不同的偏微分方程構(gòu)成，Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程用來描述不可壓縮逡逑流體的運動規(guī)律，而多孔介質(zhì)流滿足Ｄａｒｃｙ法則．逡逑Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的命名來自法國科學(xué)家Ｃ．邋Ｎａｖｉｅｒ和英國物理學(xué)家Ｇ．邋Ｓｔｏｋｅｓ

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 關(guān)振良;謝叢姣;董虎;羅國平;;多孔介質(zhì)微觀孔隙結(jié)構(gòu)三維成像技術(shù)[J];地質(zhì)科技情報;2009年02期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 沈宇晶;Navier-Stokes/Darcy多區(qū)域耦合問題的多重網(wǎng)格方法[D];浙江大學(xué);2014年

本文編號：2723427