【摘要】：基于單擺的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)初始條件對(duì)單擺的大振幅振動(dòng)進(jìn)行了近似分析,介紹了一種估計(jì)擺振幅接近π的振動(dòng)周期的解析方法.結(jié)果表明,當(dāng)擺振幅小于2.8 rad時(shí)估計(jì)值偏離精確值較多,產(chǎn)生誤差的原因在于采用了線性近似.
【圖文】：

，可見(jiàn)角速度在T0/2時(shí)間間隔(從T0/2變化到T0)內(nèi)，角速度減小了約22/23，而角位移變化僅為0．17rad．由此可見(jiàn)，當(dāng)單擺做振幅趨近于π的大振幅振動(dòng)時(shí)，單擺在從平衡位置向正最大角位移運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在此過(guò)程后期的運(yùn)動(dòng)非常緩慢，故其周期為有限值，我們可借助于圖像分析技術(shù)研究角位移式(5)或角速度式(6)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，在一定精度范圍內(nèi)估計(jì)單擺振幅無(wú)限趨近于π時(shí)的振動(dòng)周期．除圖像分析技術(shù)外，基于式(5)或式(6)，本文將介紹一種很好的解析方法分析擺作振幅超過(guò)π/2的振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為和周期．圖1給出了單擺振幅分別為3．1和3．0的振動(dòng)相圖，如實(shí)a和虛線b所示．比較曲線a和b發(fā)現(xiàn)當(dāng)角位移|θ|＜θC時(shí)兩曲線幾乎重合，此處θC為兩曲線重合區(qū)域角位移絕對(duì)值的最大值．這表明當(dāng)單擺作振幅趨近于π的大振幅振動(dòng)時(shí)振幅變化對(duì)其振動(dòng)周期的影響主要發(fā)生在角位移|θ|≥θC的范圍之內(nèi)．圖1單擺大振幅振動(dòng)的相軌跡曲線a:θ0=3．1，曲線b:θ0=3．0為更好的認(rèn)識(shí)大振幅振動(dòng)振幅變化對(duì)單擺振動(dòng)的影響，我們利用解析法比較分析兩振幅趨近于π的大振幅振動(dòng)．分別設(shè)兩大振幅振動(dòng)角位移為θ1和θ2，角速度為θ·1和θ·2，在θ1=θ2=θ時(shí)，結(jié)合式(2)，有θ·22－θ·21=4ω20sin2(θ20/2)－sin2(θ10[/2)](7)當(dāng)θ20≈π時(shí)，近似有θ·22－θ·21≈4ω20cos2(θ10/2)(7a)當(dāng)θ10＞3時(shí)，cos2(θ10/2)是二階小量，，在一級(jí)近似下，在角位移變化的一定范圍內(nèi)有θ·22≈θ·21+4ω20cos2(θ10/2)．Butikov［2］通過(guò)比較不同振幅的大振幅振動(dòng)的相軌跡的變化?

第1期王成會(huì)，等:單擺的超大振幅振動(dòng)13利用角速度變化關(guān)系，結(jié)合式(6)和式(11)可同樣得到式(13)給出的周期表達(dá)式．從式(10)和式(11)可以看出，在一級(jí)近似條件下，單擺在其振動(dòng)正負(fù)最大位移附近角位移和角速度隨時(shí)間成指數(shù)增加或減小，但π－θ10越小，形成較大角位移變化所耗時(shí)間就越長(zhǎng)，因此θ10越大，單擺的周期越長(zhǎng)．圖2給出了分別用式(3)和式(13)計(jì)算得到的單擺大振幅振動(dòng)周期變化趨勢(shì)圖．周期計(jì)算式(3)為一橢圓積分，由于在推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有引入任何近似處理，故本文將式(3)數(shù)值積分后得到的周期值作為精確值和近似計(jì)算式(13)進(jìn)行比較．圖2中符號(hào)‘◆’代表由式(3)得到的周期值，曲線代表式(13)計(jì)算得到周期值．結(jié)果表明，若單擺振幅大于2．8rad，可用式(13)在一定精度范圍內(nèi)估算單擺大振幅振動(dòng)周期．可是，當(dāng)單擺振幅小于2．8rad時(shí)，式(13)估算得到的單擺大振幅振動(dòng)期小于式(3)計(jì)算所得周期，估計(jì)值偏小包含兩個(gè)方面的原因:1)隨著θ10減小，cos(θ10/2)增大，因此采用式(8)估計(jì)得到的t1值偏小;2)隨著θ10減小，α增大，此時(shí)sinα≈α－α3/6，代入式(1)，可得α··－ω2α=－ω20α3/6+(ω20－ω2)α(14)利用逐級(jí)近似法，設(shè)α=α1+α2，有一級(jí)近似解為α1=(π－θ10)coshωt，式中ω=ω0+Δω，代入式(14)，得二級(jí)近似解滿足的方程為α··2－ω2α2=－ω20α31/6+(ω20－ω2)α1=－ω20(π－θ10)312cosh3ωt－2ω0Δω+ω20(π－θ10)2()4(π－θ10)coshωt(15)上式coshωt系數(shù)為零，得Δω=－ω0(π－θ10)28(16)α2=－ω


本文編號(hào)：2562815