【摘要】：研究了復(fù)波數(shù)域彌散方程的求解問題,根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)提出了三種求解復(fù)波數(shù)域彌散曲線的方法,即一種改進(jìn)的牛頓迭代法——拋物牛頓迭代法、求解方程組的二分法、模值收斂判別法。應(yīng)用上述三種算法可以求出大部分彌散方程的數(shù)值結(jié)果。文中引用了參考文獻(xiàn)中關(guān)于復(fù)波數(shù)域彌散曲線的算例,應(yīng)用這三種方法分別對(duì)算例中的彌散方程進(jìn)行求解并繪制相應(yīng)復(fù)波數(shù)域彌散曲線。結(jié)果表明,這三種方法均可較好地對(duì)算例中的彌散方程在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行求解。通過與參考文獻(xiàn)中的算例進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步分析了這幾種方法的特點(diǎn)和使用范圍,介紹了如何應(yīng)用這幾種方法對(duì)復(fù)波數(shù)域彌散方程進(jìn)行求解。
【圖文】：

第3期李念，等：復(fù)波數(shù)域彌散曲線的求解方法研究3672.3模值收斂判別法對(duì)于任意的方程f=0，當(dāng)它取到精確解時(shí)都有f=0，在這個(gè)解的鄰域內(nèi)所有點(diǎn)都有f>0。因此若能找到一個(gè)點(diǎn)，它的鄰域范圍的點(diǎn)對(duì)應(yīng)模值都大于這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模值，且這個(gè)點(diǎn)的模值近似為零(即小于給定精度)，那么這個(gè)點(diǎn)就是模值收斂的點(diǎn)，可以近似認(rèn)為它就是方程f=0的根。將這種方法應(yīng)用于實(shí)際問題計(jì)算時(shí)，本文采用如下判別方法，如圖1所示。圖1模值收斂判別法判斷收斂性示意圖Fig.1Schematicfigureofthemodulus-convergence-basedmethod假設(shè)圖1中的中心點(diǎn)為正在判斷的點(diǎn)，根據(jù)步長選擇臨近的8個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)模值記為fi，其中i=1,2,…,8；對(duì)于這8個(gè)點(diǎn)再選擇比較靠近中心點(diǎn)的8個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)模值記為mfi，判斷是否滿足fi>mfi，若滿足則認(rèn)為該點(diǎn)具有收斂性，近似認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)即為方程的解。將求根區(qū)間劃分為多個(gè)網(wǎng)格，通過這種辦法判斷每個(gè)網(wǎng)格中的點(diǎn)是否收斂，最終確定方程的所有解。3數(shù)值算例3.1無限大壓電板中的反平面剪切波由文獻(xiàn)[1]得到這種情況下的量綱歸一化彌散方程為[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分別表示量綱歸一化的頻率和波數(shù)；2k為耦合系數(shù)，文中取k=0.48計(jì)算，且參考文獻(xiàn)中對(duì)于該式給出了復(fù)波數(shù)域的彌散曲線，如圖2所示。應(yīng)用本文介紹的三種方法對(duì)式(5)進(jìn)行求解，將得到的彌散曲線與參考文獻(xiàn)比較。首先將方程寫成f(Ω,Z)=0的形式，三種方法具體應(yīng)用如下。圖2文獻(xiàn)[1]中的彌散曲線Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1拋物牛頓迭代法求解應(yīng)用該算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)首先給定Ω的值，來求解對(duì)應(yīng)的Z值。將f對(duì)Z求導(dǎo)并代入公式(1)進(jìn)行迭代計(jì)算即可求出對(duì)應(yīng)的Z值。具體迭代

為mfi，判斷是否滿足fi>mfi，若滿足則認(rèn)為該點(diǎn)具有收斂性，近似認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)即為方程的解。將求根區(qū)間劃分為多個(gè)網(wǎng)格，通過這種辦法判斷每個(gè)網(wǎng)格中的點(diǎn)是否收斂，最終確定方程的所有解。3數(shù)值算例3.1無限大壓電板中的反平面剪切波由文獻(xiàn)[1]得到這種情況下的量綱歸一化彌散方程為[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分別表示量綱歸一化的頻率和波數(shù)；2k為耦合系數(shù)，文中取k=0.48計(jì)算，且參考文獻(xiàn)中對(duì)于該式給出了復(fù)波數(shù)域的彌散曲線，如圖2所示。應(yīng)用本文介紹的三種方法對(duì)式(5)進(jìn)行求解，將得到的彌散曲線與參考文獻(xiàn)比較。首先將方程寫成f(Ω,Z)=0的形式，三種方法具體應(yīng)用如下。圖2文獻(xiàn)[1]中的彌散曲線Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1拋物牛頓迭代法求解應(yīng)用該算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)首先給定Ω的值，來求解對(duì)應(yīng)的Z值。將f對(duì)Z求導(dǎo)并代入公式(1)進(jìn)行迭代計(jì)算即可求出對(duì)應(yīng)的Z值。具體迭代過程與牛頓迭代法類似，只是迭代公式不同。增加Ω的步長進(jìn)行計(jì)算即可得到需求的彌散曲線，如圖3所示。由該方法繪制的彌散曲線與參考文獻(xiàn)原圖趨勢(shì)相同，可以由這種算法計(jì)算形式簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)域超越方程。圖3拋物牛頓迭代法求解文獻(xiàn)[1]彌散方程的結(jié)果Fig.3ThedispersioncurveofequationinRef.[1]calculatedbyparabolicnewtoniterativemethod拋物牛頓迭代法在應(yīng)用過程中涉及到的求導(dǎo)問題可以用Matlab軟件解得，但當(dāng)方程形式復(fù)雜，如涉及到復(fù)數(shù)域?qū)?shù)或者復(fù)雜行列式的情況時(shí)，即使應(yīng)用軟件求導(dǎo)也十分困難，這種方法將不再適用。另外對(duì)于初值的選取也有一定的要求，需要進(jìn)行嘗試。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是程序花費(fèi)時(shí)間短，，對(duì)精確度有所保證。3.1.2解方程組的二分法求?
【作者單位】： 南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院/機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;
【基金】：國家自然科學(xué)基金(11502108;11232007) 江蘇省杰出青年基金(SBK2014010134) 教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-12-0625) 中央高�；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)——南京航空航天大學(xué)杰出人才培育基金(NE2013101)
【分類號(hào)】：O347.41


本文編號(hào)：2546540