【摘要】 光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法作為一種典型的無(wú)網(wǎng)格方法,近年來(lái)在解決計(jì)算流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)獲得了廣泛應(yīng)用,與傳統(tǒng)有限差分、有限元及有限體積等方法相比,該方法具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。本文對(duì)光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法的理論研究進(jìn)展和應(yīng)用做了綜合評(píng)述,在算法改進(jìn)和算法應(yīng)用方面做了一定的研究,提出了一些有意義的改進(jìn)措施,拓寬了算法的應(yīng)用范圍。主要研究工作包括：1、圍繞提高光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法的穩(wěn)定性和計(jì)算精度,在對(duì)基本方法及修正方法理論分析的基礎(chǔ)上,指出了方法在計(jì)算穩(wěn)定性、計(jì)算精度和算法效率方面所存在的問(wèn)題,通過(guò)對(duì)方法數(shù)值精度的理論分析和數(shù)值模擬驗(yàn)證,給出了提高算法穩(wěn)定性和改善計(jì)算精度的策略。2、開(kāi)展了光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法在淺水波方程中的應(yīng)用研究,詳細(xì)闡述了求解淺水波方程的SPH粒子分裂算法、基于間斷解的SPH方法。(1)在已有研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上討論了求解一維和二維淺水波方程的光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)基本方法,并對(duì)求解淺水波方程的相關(guān)技術(shù)包括穩(wěn)定項(xiàng)的處理、初始粒子布置及光滑長(zhǎng)度的選擇等進(jìn)行討論和分析,總結(jié)了適宜于求解淺水波方程的光滑粒子流體方法的相關(guān)實(shí)現(xiàn)技術(shù)。(2)探討了一種求解淺水波方程的粒子分裂算法。為提高算法的穩(wěn)定性和局部流場(chǎng)的精度,對(duì)流場(chǎng)中數(shù)值陡變的區(qū)域或粒子分布較少的區(qū)域?qū)嵤┝Ｗ臃至?通過(guò)局部粒子加密的方法來(lái)提高粒子分布的均勻性,以滿足核函數(shù)近似和粒子近似對(duì)流場(chǎng)中粒子分布的要求,分裂算法拓寬了方法在干濕界面的應(yīng)用。(3)探討了求解淺水波方程的基于間斷解的光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法。為了捕捉潰壩模擬中的激波現(xiàn)象,同時(shí)又保持算法的穩(wěn)定性,根據(jù)間斷解思想,在光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法中把配對(duì)粒子之間的作用視為接觸間斷來(lái)求解流場(chǎng)的高度和速度,該思想有利于提高方法對(duì)激波的捕捉能力。3、基于網(wǎng)格方法中的三角剖分技術(shù),提出了一種可行的光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)二維數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)。數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)具有復(fù)雜邊界流場(chǎng)的初始粒子配置；數(shù)據(jù)后處理技術(shù)通過(guò)把SPH輸出的數(shù)據(jù)網(wǎng)格化,實(shí)現(xiàn)了利用現(xiàn)有的流體力學(xué)分析軟件進(jìn)行數(shù)值分析和圖形化顯示的需要。 

第一章緒論

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法誕生至今己有三十多年，方法在理論研究方面取得了迅速發(fā)展，應(yīng)用的領(lǐng)域也日益廣泛，目前已成為計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，受到國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。

1.1研究目的和意義

水力學(xué)是力學(xué)的一個(gè)重要分支，也是許多工程技術(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)學(xué)科。由于水流是一個(gè)較為復(fù)雜的自然現(xiàn)象，在很多實(shí)際工程以及洪水預(yù)報(bào)等方面，常常進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化的計(jì)算模型可用于數(shù)值計(jì)算和數(shù)值分析。

淺水波方程是水流運(yùn)動(dòng)的基本方程N(yùn)-S方程的簡(jiǎn)化形式，是各種各樣淺水環(huán)境流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，二維形式的淺水波方程把沿水流垂線方向視為均匆流，一維形式的淺水波方程把沿水流垂線方向和縱向都為均勾流。淺水問(wèn)題廣泛存在于水利、土木、洪水災(zāi)害、水環(huán)境和航運(yùn)等工程技術(shù)領(lǐng)域，其中描述洪水災(zāi)害的漬現(xiàn)問(wèn)題是淺水波方程的一個(gè)非常典型的應(yīng)用，歷來(lái)受到人們的極大關(guān)注，它不僅是實(shí)際工程中需要研究的課題，也是水動(dòng)力學(xué)中一個(gè)重要的模型。通過(guò)對(duì)淸壩模型的計(jì)算，人們可以了解潰現(xiàn)問(wèn)題的基本特征參數(shù)，，如最大水深、最大流量、涌波推進(jìn)速度等等，這些參數(shù)也是進(jìn)行水利工程設(shè)計(jì)、災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)的必要基礎(chǔ)。

目前人們求解淺水波方程的所使用的方法大部分是基于網(wǎng)格的數(shù)值方法。SPH方法作為一種典型的無(wú)網(wǎng)格方法，近年來(lái)在解決計(jì)算流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)也獲得了廣泛應(yīng)用，與傳統(tǒng)有限差分、有限元及有限體積等方法相比，該方法具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。能夠自然地處理極大變形問(wèn)題，也能夠自然地跟蹤運(yùn)動(dòng)界面，在模擬自由表面流動(dòng)時(shí)無(wú)須處理自由表面邊界便可得到令人滿意的結(jié)果。目前方法在粒子自適應(yīng)技術(shù)、方法與間斷解相結(jié)合、方法與其他數(shù)值方法的稱合等多個(gè)方面有著較為廣闊的發(fā)展前景。本文研究SPH方法在淺水波方程中應(yīng)用中的若干問(wèn)題，通過(guò)對(duì)淺水流動(dòng)中不同形式的淸瑣問(wèn)題的研究，揭示績(jī)壩問(wèn)題的基本特征參數(shù)，為洪水的預(yù)防預(yù)測(cè)提供技術(shù)支持。

1.2SPH方法發(fā)展概況

1.2.1SPH方法的提出

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法是最早發(fā)展的無(wú)網(wǎng)格方法之一。它利用核函數(shù)對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行近似處理，用離散的粒子來(lái)描述宏觀連續(xù)分布的流體，每個(gè)粒子攜帶了其所在位置的包括質(zhì)量、密度、速度、能量等流體的各種屬性。方法于1977年分別由Lucy和Gingold&Monaghan獨(dú)立地提出，最初應(yīng)用于處理三維開(kāi)放空間中的天體物理問(wèn)題。相比于傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的數(shù)值方法，SPH方法具有一些特別的優(yōu)點(diǎn)，所以一經(jīng)提出便在多個(gè)領(lǐng)域得到了飛速的發(fā)展。

1.2.2SPH方法的主要應(yīng)用領(lǐng)域方法提出的初期主要用于求解天體物理問(wèn)題，在該領(lǐng)域的應(yīng)用包括星系的形成和瓦解，星體間的碰撞與聚合，宇宙星體的進(jìn)化等。

近年來(lái)，SPH方法在流體力學(xué)和固體力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在流體力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用主要包括自由表面流動(dòng)多相流動(dòng)、熱傳導(dǎo)非牛頓流體的運(yùn)動(dòng)磁流體動(dòng)力學(xué)、冰晶和晶體，多孔介質(zhì)流、彈性流等，其中關(guān)于自由表面流動(dòng)的研宄最多，包括氣泡的合成與破碎、液滴的碰撞與融合、流體爬坡、楔形物體入水等多種自然現(xiàn)象。在固體力學(xué)中的應(yīng)用主要包括脆性固體斷裂、金屬成型和鑄造。等，由于方法適宜于處理極大形變問(wèn)題，因此在高速?zèng)_擊與侵徹問(wèn)題中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，方法在固體力學(xué)中另一個(gè)重要的應(yīng)用是模擬高能炸藥爆炸、水下沖擊爆炸等現(xiàn)象。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)也在SPH方法的應(yīng)用上開(kāi)展了一系列的研究工作。研究的領(lǐng)域包括流體的自由表面流動(dòng)碰撞與沖擊，沖擊爆炸、高速水下物體模擬、方法與有限元方法的耦合研究等。相對(duì)而言，國(guó)內(nèi)的研究與國(guó)外尚具有一定的差距，鑒于方法所具有的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，開(kāi)展進(jìn)一步的研究工作具有積極的意義。

第二章SPH方法的基本理論

本章首先闡述了SPH方法的基本理論，其次介紹了與SPH方法相關(guān)的核函數(shù)、粒子光滑長(zhǎng)度、人工粘性、相鄰粒子搜索算法、邊界條件等概念。最后對(duì)SPH基本方法與修正方法的有效性進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

2.1SPH方法的基本原理

SPH方法是一種求解偏微分方程的無(wú)網(wǎng)格數(shù)值方法。其基本原理描述如下：描述場(chǎng)的函數(shù)可寫(xiě)為一個(gè)狄拉克函數(shù)和一組任意點(diǎn)的函數(shù)值的乘積積分，將函數(shù)作函數(shù)逼近，用一個(gè)光滑函數(shù)光滑核函數(shù)替代它，場(chǎng)函數(shù)就可以寫(xiě)成一個(gè)近似的積分表達(dá)式，也就是采用近似函數(shù)來(lái)表示任意一點(diǎn)的場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，將積分函數(shù)在場(chǎng)函數(shù)任意點(diǎn)處的物理量轉(zhuǎn)化為該粒子周圍的所有粒子的物理量疊加求和的離散化形式，這樣整個(gè)流場(chǎng)就可以由一系列粒子表示，每個(gè)粒子的物理量都由周圍粒子的物理量插值得到。

SPH方法的構(gòu)造常按兩個(gè)步驟進(jìn)行。第一步為積分近似方法，又稱場(chǎng)函數(shù)核近似方法；第二步為粒子近似方法。

2.2相鄰粒子的搜索算法

在傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的有限差分、有限元、有限體積方法中，網(wǎng)格是預(yù)先鋪設(shè)的，計(jì)算過(guò)程中一般不會(huì)發(fā)生改變。而在SPH方法中，每個(gè)粒子的鄰近粒子隨時(shí)間而變化，計(jì)算的每一步都要確定粒子的支持域及支持域中所包含的粒子。粒子之間的相互關(guān)聯(lián)是通過(guò)光滑核函數(shù)建立的，由于光滑核函數(shù)具有一個(gè)支持域，故在相關(guān)粒子的以為半徑的支持域中只包含有限的粒子，而所包含的這些粒子將會(huì)在粒子近似計(jì)算過(guò)程中被使用，每個(gè)粒子只與有限數(shù)量的配對(duì)粒子作用，如何迅速而有效地找到相互作用的粒子對(duì)成為方法的一個(gè)問(wèn)題。一般將這些包含在支持域中的粒子稱為相關(guān)粒子的最近相鄰粒子，尋找最近相鄰粒子的過(guò)程通常稱為最近相鄰粒子搜索。每一個(gè)時(shí)間步，我們都需要找出每一個(gè)粒子支持域范圍內(nèi)的粒子，即該給定粒子的最鄰近粒子及與支持域內(nèi)粒子的距離。在一個(gè)SPH程序中，如何提高搜索鄰近粒子的速度成為方法應(yīng)用中必須解決的問(wèn)題。

這些都是完備的粒子搜索算法，都不會(huì)對(duì)算法的精度有影響，能夠滿足數(shù)值計(jì)算的需要，但若應(yīng)用于流體動(dòng)畫(huà)的實(shí)時(shí)模擬還需要尋求其它算法，一個(gè)發(fā)展的方向就是尋求能夠滿足實(shí)時(shí)模擬需要的不完備搜索算法，即不需要精確地搜索所有的配對(duì)粒子，只要滿足視覺(jué)效果即可，即以犧牲算法的精度換取算法的效率。粒子搜索算法在多數(shù)文獻(xiàn)中都有較為詳細(xì)的介紹，這里不再贅述。

第三章求解淺水波方程的SPH方法......32

3.1淺水波方程及其拉格朗日形式.........32

3.2淺水波方程的SPH形式.........35

第四章求解淺水波方程的SPH粒子分裂算法........49

4.1粒子分布對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.........49

4.2SPH粒子分裂算法關(guān)于粒子自適應(yīng)的討論.......50

第五章求解淺水波方程的結(jié)合間斷解問(wèn)題的SPH方法.........59

5.1引言......59

5.2求解淺水波方程的結(jié)合RIEMANN問(wèn)題解的SPH方法.........60

第六章SPH方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理與后處理

數(shù)據(jù)預(yù)處理與后處理在SPH方法中起著非常重要的作用，數(shù)據(jù)預(yù)處理有助于改善數(shù)值方法的穩(wěn)定性和精度，數(shù)據(jù)后處理可以幫助分析數(shù)值方法存在的問(wèn)題。本章對(duì)這兩項(xiàng)技術(shù)及與其相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行論述，給出了一種SPH二維數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理的方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證方法的可行性。

6.1數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理的意義

雖然近年來(lái)SPH方法發(fā)展很快，但還有許多需要完善和改進(jìn)的地方，其中SPH數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)就是其中的兩個(gè)方面，數(shù)據(jù)預(yù)處理與計(jì)算精度密切相關(guān)，數(shù)據(jù)后處理與圖形顯示分析有關(guān)。

有限差分、有限體積等方法是建立在計(jì)算網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，質(zhì)量較好的剖分網(wǎng)格對(duì)算法的計(jì)算結(jié)果影響很大。和基于網(wǎng)格的方法類似，粒子的初始分布對(duì)SPH方法的計(jì)算精度也有較大的影響，如果粒子的分布存在問(wèn)題，還有可能影響算法的穩(wěn)定性，導(dǎo)致算法出錯(cuò)。雖然從理論上還不能清楚的解釋粒子分布對(duì)計(jì)算的精度是如何影響的，但數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，當(dāng)粒子分布不均勻時(shí)，計(jì)算誤差可能會(huì)隨著粒子間距的變化而增大，計(jì)算結(jié)果的不確定因素變多；初始時(shí)刻非均勻分布的粒子要比均勾分布的粒子更早出現(xiàn)數(shù)值振蕩。關(guān)于粒子分布對(duì)算法精度的影口向，前面幾章的討論比較多，這里不再贅述。既然粒子初始分布對(duì)計(jì)算的準(zhǔn)確性影響很大，因此對(duì)算法進(jìn)行預(yù)處理，獲得一個(gè)初始時(shí)刻均勾分布的粒子場(chǎng)，對(duì)提高計(jì)算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性以及加快計(jì)算的收斂具有重要意義。

預(yù)處理是為了提高算法的穩(wěn)定性和計(jì)算精度，而后處理則是為了滿足數(shù)值方法分析的需要。有限差分、有限體積等方法由于流場(chǎng)的物理量是建立在預(yù)先設(shè)計(jì)好的網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，網(wǎng)格中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系是己知的，數(shù)據(jù)圖形化后可以根據(jù)已知的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系分析流場(chǎng)的特征，而SPH是一種無(wú)網(wǎng)格類型的粒子方法，計(jì)算輸出的數(shù)據(jù)以離散的粒子狀態(tài)存在，如果直接對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行圖形化顯示，對(duì)于一維和二維等一些簡(jiǎn)單的流場(chǎng)可以滿足數(shù)據(jù)分析的需要，而對(duì)于一些較為復(fù)雜的流場(chǎng)可能難以滿足需要，目前僅發(fā)現(xiàn)少量通過(guò)賦予粒子不同的顏色來(lái)模擬三維流場(chǎng)的結(jié)果，如圖6.1所示，該圖顯示了三維淸現(xiàn)丹塌并遇方形障礙物時(shí)的情形，在不同區(qū)域賦予粒子不同的顏色，效果比較差。現(xiàn)有的比較成熟的基于網(wǎng)格的可視化技術(shù)也無(wú)法直接利用。無(wú)網(wǎng)格可視化計(jì)算是一項(xiàng)新的技術(shù)，目前也幵發(fā)出了一些面向方法的軟件，但基本上是基于直接對(duì)粒子進(jìn)行處理的，主要面向的領(lǐng)域是天文領(lǐng)域，在水動(dòng)力學(xué)等其它領(lǐng)域的適用性還有待拓展。我們所模擬的淺水波方程的計(jì)算結(jié)果無(wú)法在上述軟件中處理，需要尋求新的解決辦法。

第七章總結(jié)與展望

本章簡(jiǎn)要總結(jié)SPH方法在淺水流動(dòng)應(yīng)用研究中所做的主要工作，并對(duì)未來(lái)進(jìn)一步開(kāi)展的研究進(jìn)行展望。

7.1研究總結(jié)

本文在綜述SPH方法的理論研宄和應(yīng)用的基礎(chǔ)上，指出了該方法存在的問(wèn)題，并對(duì)相關(guān)的問(wèn)題給出了改進(jìn)或修正的策略；重點(diǎn)介紹了SPH方法在淺水波方程中的應(yīng)用，為提高算法的穩(wěn)定性和改善算法精度，提出了一些解決方案；也對(duì)SPH數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)進(jìn)行了討論。

SPH方法的理論分析和數(shù)值驗(yàn)證。本文從方法的核近似和粒子近似進(jìn)行理論分析，SPH方法理論上可以達(dá)到二階精度，但數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，具體實(shí)現(xiàn)上難以達(dá)到二階精度，目前方法的精度還難以與基于網(wǎng)格的方法相娘美，改善方法的穩(wěn)定性和精度是目前面臨的兩個(gè)主要問(wèn)題。另一方面，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了方法應(yīng)用的領(lǐng)域廣泛，對(duì)復(fù)雜邊界的適應(yīng)性較好，可以自然地跟蹤和捕捉流體自由表面、多介質(zhì)交界面，也非常適宜于求解極大變形的物理問(wèn)題，能夠同時(shí)表現(xiàn)流體的整體和細(xì)節(jié)特征。

SPH方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)。本文開(kāi)展了SPH方法數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理方法的研宄，借用網(wǎng)格方法中的三角剖分技術(shù)，給出了一種可行的二維數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，同時(shí)結(jié)合SPH方法的支持域等相關(guān)概念給出了一種簡(jiǎn)易的數(shù)據(jù)后處理方法。方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)有助于算法精度的提高，本文給出的SPH方法簡(jiǎn)單易行，解決了復(fù)雜邊界流場(chǎng)的初始粒子布置問(wèn)題，但方法對(duì)算法精度的提高還十分有限。方法的數(shù)據(jù)后處理是一個(gè)難點(diǎn)，目前研宄的文獻(xiàn)也不是很多。我們給出的方法僅僅能夠像網(wǎng)格方法那樣進(jìn)行流場(chǎng)的整體形態(tài)分析，流場(chǎng)可能存在的粒子飛派、卷曲等細(xì)節(jié)特征無(wú)法表現(xiàn)出來(lái)，而相比于網(wǎng)格的方法，這些正是SPH方法所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，也是流場(chǎng)本身具有的特性。因此，發(fā)展一種能夠完整表現(xiàn)方法輸出流場(chǎng)所有特性的圖形化方法，是后處理技的一項(xiàng)重要工作，可以期望在數(shù)值計(jì)算之外的動(dòng)畫(huà)模擬方面得到廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn) （略）