【摘要】： 在聲學(xué)、電磁學(xué)、地震學(xué)和一些其他的應(yīng)用中,有許多在具有分層緩變波導(dǎo)中大尺度的波傳播的問題。如果使用直接方法,譬如有限元法、有限差分法等,往往會導(dǎo)致求解大規(guī)模的線性方程組,這使得使得算法在內(nèi)存和計算量的花費(fèi)非常大,計算效率不高。在本文中,我們針對具有彎曲界面或者彎曲邊界的波導(dǎo),提出了適合于步進(jìn)計算一般的坐標(biāo)變換變換的方法,在坐標(biāo)變換后的坐標(biāo)系中,使用基于DtN(Dirichlet to Neumann)映射的正向基本解算子步進(jìn)方法(FFOMM)和逆向基本解算子步進(jìn)方法(IFOMM)分別求解Helmholtz方程正問題和反問題。 在海洋聲學(xué)中,海洋環(huán)境可以看作是一種分層緩變的具有多個彎曲內(nèi)部界面和多層介質(zhì)的聲波導(dǎo)。在這樣的波導(dǎo)中如果要使用步進(jìn)方法大步長的求解Helmholtz方程,首先需要用適合于步進(jìn)計算坐標(biāo)變換將波導(dǎo)中彎曲的界面或者彎曲邊界拉直。本文中給出兩種坐標(biāo)變換的方法:第一種是局部的解析正交坐標(biāo)變換法,局部解析坐標(biāo)變換用一個解析的積分方程聯(lián)系新舊坐標(biāo),使用牛頓法求解這一積分方程實(shí)現(xiàn)新舊坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)變換必然相應(yīng)的引起方程的變換,我們使用的方程變換將Helmholtz方程轉(zhuǎn)化成為一個可以用步進(jìn)方法求解的形式。對于具有一個平的頂部、平的底部、n個彎曲的內(nèi)部界面的二維波導(dǎo),我們給出了在變換方程系數(shù)在各個介質(zhì)層一般形式的解析表達(dá)式,從而完成方程變換。然而,局部解析坐標(biāo)變換方法需要滿足在兩個相鄰界面之間存在一條水平直線的介質(zhì)可分性條件。針對不滿足可分性條件的情況,我們又提出了一種使用經(jīng)典求解常微分方程的Runge-Kutta方法計算坐標(biāo)變換的數(shù)值坐標(biāo)變換方法,這一方法不僅具有更廣的適用范圍,而且不必引入輔助界面,從而更好的逼近原始問題。 對于變換之后的計算坐標(biāo)系中的正問題,我們使用正向基本解步進(jìn)方法來求解方程。FFOMM基于DtN算子的單向重建,將邊界值問題轉(zhuǎn)化為初始值問題,對于DtN算子和基本解算子滿足的方程使用大步長方法離散在傳播方向上的變量,用截斷特征值展開方法逼近這些算子。FFOMM對于求解大尺度緩變波導(dǎo)中波的傳播問題非常有效。 在具有分層緩變特性的波導(dǎo)中的波的大尺度傳播問題中,反問題有非常重要的實(shí)際意義。一般說來,海洋聲學(xué)中實(shí)際的反問題都很復(fù)雜。求解海洋中反問題一般使用兩類方法:一種是基于正向方法(如FFOMM)的迭代法,另一種為反向方法,反向方法的運(yùn)算量和計算速度都相比正向方法有很大的優(yōu)勢�；贔FOMM,我們提出了逆向基本解算子步進(jìn)方法。在IFOMM中使用波導(dǎo)中存在的傳播模的個數(shù)作為正則化參數(shù),用截斷的奇異值分解方法求解步進(jìn)過程中出現(xiàn)的病態(tài)線性方程。數(shù)值計算證明,這個方法用于求解Helmholtz方程的反邊界值有效,精確并且對于初始波源傳播部分穩(wěn)定,對于海洋聲波中實(shí)際的反問題研究有著一定的意義。
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2008
【分類號】：P733.21
【圖文】：

那么兩種方法的在計算時間上的差異將更加明顯。圖5.n.使用951775個元的自適應(yīng)有限元方法的網(wǎng)格片斷圖5.n給出了在區(qū)間!4.5，5}使用951775個元時的AFEM的網(wǎng)格片斷。如圖所示，為了取得相對精確的解，網(wǎng)格必須作非常細(xì)致的細(xì)化。這個稠密的有限元網(wǎng)格也解釋了為何使用AFEM方法的效率相應(yīng)于FFOMM方法非常低的原因。

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前2條

1 黃越夏,沈瑞敏;求解Helmholtz方程的一類非線性局部正交變換[J];浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版);2004年05期

2 ;Large range step method for acoustic waveguide with two layer media[J];Progress in Natural Science;2002年11期

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前1條

1 王丹溪;在多層無界區(qū)域中Helmholtz方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用[D];浙江大學(xué);2006年

本文編號：2716140