發(fā)布時(shí)間：2020-04-28 12:21

【摘要】：如何快速高效地獲得高精度三維電磁模擬結(jié)果一直是三維電磁正演研究的重點(diǎn)。為進(jìn)一步提高數(shù)值模擬的精度和穩(wěn)定性,本文將基于Gauss-LobattoChebyshev(GLC)多項(xiàng)式的譜元法引入到三維電磁正演模擬中。譜元法是一種結(jié)合了有限元法和譜方法的求解邊值問題的高精度數(shù)值計(jì)算方法。與傳統(tǒng)三維正演算法相比,譜元法具有高精度、指數(shù)收斂等特點(diǎn)。本文首先由麥克斯韋方程出發(fā),為了克服源的奇異性,進(jìn)行背景場(chǎng)/二次場(chǎng)分離,推導(dǎo)出關(guān)于二次電場(chǎng)的矢量亥姆赫茲方程,利用混合階GLC正交多項(xiàng)式的張量積構(gòu)建矢量插值基函數(shù)對(duì)單元內(nèi)的場(chǎng)值進(jìn)行展開,再通過伽遼金加權(quán)殘差法離散控制方程并合成大型線性方程組。針對(duì)基于移動(dòng)平臺(tái)的航空電磁和海洋可控源電磁問題,本文采用直接求解器實(shí)現(xiàn)多源快速回帶求解,最后通過插值得到接收點(diǎn)處的電磁響應(yīng)。本文詳細(xì)闡述了基于GLC多項(xiàng)式譜元法的基本原理和實(shí)施步驟,及其在頻率域航空電磁法和頻率域海洋可控源電磁法中的新應(yīng)用,比較了譜元法與傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)。具體內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面:(1)基于二次場(chǎng)方案的三維電磁譜元模擬理論。為了避免場(chǎng)源位置的奇異性,本文采用基于背景場(chǎng)/二次場(chǎng)分離技術(shù)的二次場(chǎng)方案,遵循譜元法的研究思路,首先將計(jì)算區(qū)域劃分為離散的單元,在單元內(nèi)采用高階矢量插值基函數(shù)擬合近似解,利用伽遼金法離散亥姆赫茲方程建立譜元方程組,求解線性方程組得到全局近似解,最后通過插值得到接收點(diǎn)處的航空電磁響應(yīng)。(2)基于GLC正交多項(xiàng)式的矢量譜元基函數(shù)構(gòu)建及對(duì)應(yīng)單元積分的計(jì)算方法。本文利用物理單元與參考單元的映射技術(shù),在參考單元內(nèi)選用GLC正交多項(xiàng)式的張量積構(gòu)建譜元矢量插值基函數(shù),并利用GLC多項(xiàng)式的性質(zhì),完整推導(dǎo)了單元矩陣元素的解析表達(dá)式,使得模擬精度得到有效保證。(3)數(shù)值算例與正演模擬結(jié)果分析。本文將所提出的基于GLC多項(xiàng)式的譜元法應(yīng)用于頻率域航空電磁和頻率域海洋可控源電磁三維正演模擬中,通過與一維結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文算法的計(jì)算精度。本文進(jìn)一步通過不同算例以及與不同正演方法的比較,研究了譜元法在三維電磁正演模擬中的特性及優(yōu)缺點(diǎn)。最后模擬分析了典型三維模型對(duì)應(yīng)的航空電磁和海洋可控源電磁響應(yīng)特征。數(shù)值結(jié)果表明基于GLC多項(xiàng)式的譜元法是進(jìn)行頻率域三維電磁正演模擬的有效方法,相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法,具有高精度、低網(wǎng)格依賴性等顯著優(yōu)勢(shì)。
【圖文】：

國(guó)內(nèi)外公開發(fā)表的研究成果很少。譜元法屬于高階有限元法的一種，它結(jié)合了譜方法和有限元法的思想。圖1.3.1 示意了譜方法、有限元法、譜元法三種方法的區(qū)域剖分和單元插值情況。譜方法是在整個(gè)求解域上通過正交高階展開函數(shù)尋求區(qū)域內(nèi)的解，理論上譜方法可以達(dá)到任意高精度且具有指數(shù)收斂性，但對(duì)于復(fù)雜求解域問題的求解有一定的困難；而有限元法將求解域劃分成小單元，通過單元內(nèi)的插值和單元之間的關(guān)系求取全局的近似解，具有很強(qiáng)的區(qū)域適應(yīng)性。譜元法與有限元類似，將區(qū)域剖分為互不重疊的基本單元，在每個(gè)單元內(nèi)與譜方法類似，對(duì)未知量（如電磁場(chǎng)值）在配置點(diǎn)處利用正交插值多項(xiàng)式進(jìn)行譜逼近，再借助伽遼金加權(quán)殘差法形成單元矩陣，進(jìn)而合成總體大型線性方程組，最后求解得到全局的近似解。在譜元法中，若正交多項(xiàng)式階數(shù)選為 N=1 或 N=2，則分別與傳統(tǒng)線性插值和二次插值的有限元方法完全一致。因此，譜元法即進(jìn)行了單元剖分又在單元內(nèi)進(jìn)行譜展開，具有和有限元法相當(dāng)?shù)牧己脦缀螀^(qū)域適應(yīng)性，以及和譜方法相當(dāng)?shù)母呔群褪諗刻匦裕且环N極具發(fā)展?jié)摿Φ那蠼怆姶趴碧秸菽M問題的數(shù)值方法。圖 1.3.1 譜方法、有限元法、譜元法區(qū)域剖分與單元插值示意圖

bzyxzyxzyxNjjjNtNsNrzrstrstzNtNsNryrstrstyNtNsNrxrstrstsxEExyzExyzxyzExyz010 0 0010 00 010Φ~~,,~,,~,,,,ΦΦEΦ，··················（3.2.1）其中 Nx、Ny、Nz分別表示插值基函數(shù)沿三個(gè)坐標(biāo)方向的多項(xiàng)式階數(shù)，Nb=Nx(Ny+1)(Nz+1)+ (Nx+1) Ny(Nz+1)+(Nx+1) (Ny+1) Nz表示單元棱邊總數(shù)，，jΦ~表示第 j 條棱邊對(duì)應(yīng)的插值基函數(shù)，jE 表示第 j 條棱邊上的切向電場(chǎng)。為了直觀起見，當(dāng)在某方向采用高階多項(xiàng)式進(jìn)行單元電場(chǎng)插值時(shí)，可以視為對(duì)該方向單元棱邊進(jìn)行了再次剖分。圖 3.2.1 展示了 Nx=Ny=Nz=3 時(shí)譜元法單元棱邊再剖分示意圖。
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：P631.325

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：2643457