【摘要】：結(jié)合快速多極子展開技術(shù)與間接邊界元法,發(fā)展一種新的高頻地震波散射(二維平面內(nèi))快速模擬方法。精度和效率檢驗(yàn)表明該方法具有很高的計(jì)算精度、求解效率及良好的數(shù)值穩(wěn)定性,同時可大幅度降低計(jì)算存儲量。進(jìn)而以半空間峽谷與凸起地形對平面SV波的高頻散射為例,討論了峽谷及凸起周圍地震波寬頻散射基本特征,給出了千米尺度局部場地、0~25 Hz頻帶寬度的散射模擬結(jié)果。分析表明:高頻SV波垂直入射下,峽谷角部水平和豎向位移均表現(xiàn)出明顯的放大效應(yīng),而峽谷底部的散射效應(yīng)較弱;半圓凸起頂部附近水平位移譜峰值高達(dá)5.0,山腳處位移反應(yīng)則受到明顯的抑制作用;斜入射情況,峽谷地形迎波面一側(cè)位移幅值較大,而凸起地形則是背波面一側(cè)放大顯著。數(shù)值結(jié)果可為復(fù)雜局部場地中大型工程抗震設(shè)計(jì)提供部分理論依據(jù)。
【圖文】：

波的二維散射問題求解（平面應(yīng)變）。由于涉及到壓縮波、剪切波及面波間的波型轉(zhuǎn)換，因而波場構(gòu)造更為復(fù)雜。在方法精度、效率檢驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)而以半空間峽谷、凸起地形對平面SV波散射為例進(jìn)行計(jì)算模擬，給出了千米尺度局部場地0～25Hz帶寬的頻域分析結(jié)果，揭示了峽谷、凸起地形周圍高頻波二維散射若干規(guī)律，以期為復(fù)雜場地中的大型工程（橋梁、大壩等）抗震設(shè)計(jì)提供部分理論依據(jù)。1間接邊界元法（IBEM）下面以半空間中局部起伏地形對平面P、SV、Rayleih波的散射為例，，簡要介紹傳統(tǒng)間接邊界元法的基本原理。計(jì)算模型如圖1所示。各向同性均勻介質(zhì)D中穩(wěn)態(tài)波傳播的運(yùn)動方程可表示為2div()0()iiuxD，(1)式中，i和iu分別表示應(yīng)力和位移矢量，為密度，為圓頻率，i=1，2。首先將總波場分解為自由場和散射常IBEM方法的核心部分是構(gòu)造半空間中的散射場，即基于單層位勢理論，在起伏地表表面（L）及附近半空間水表面（H）上施加虛擬荷載，然后由半空間表面上的零應(yīng)力邊界條件建立方程求解得到虛擬荷載密度。最后彈性半空間D中的總波場則由散射波場與自由波場疊加得到。消除體力的影響下，彈性半空間的散射位移和應(yīng)力可表達(dá)為[13]siS()()(,)djijyuxyGxyS，(2)siS()()(,)djijyxyTxyS。(3)其中，()jy可看作邊界單元上施加的虛擬均布荷載密度，半空間二維集中荷載動力格林函數(shù)表達(dá)式為2(2)0211(,)(,,)4πijijGxyHkxykxx(2)(2)00(,,)(,,)ijHhxyHkxy，(4)1212(,)jjijiGGTxynxx121212ijjijjjiGGGGnnxxxx。(5)式中x和y分別為場點(diǎn)和源點(diǎn)；i，j=1，2，對應(yīng)于x,y方向（下文同）；(2)H()n

在傳統(tǒng)的邊界元法中，采用GMRES迭代算法求解大型方程組，計(jì)算量龐大且需要存儲大型系數(shù)矩陣�？焖俣鄻O子邊界元法使用樹結(jié)構(gòu)作為主要存儲和運(yùn)算對象，對核函數(shù)進(jìn)行展開和傳遞，借助GMRES迭代算法，在每一次迭代中以樹結(jié)構(gòu)取代系數(shù)矩陣，與迭代量相乘，通過迭代精度控制，得出結(jié)果。核函數(shù)展開方式不盡相同，本文采用Graf加法定理[14]對式（5）中核心函數(shù)(2)0H()進(jìn)行多極展開：(2)0cc()(,)(,)pinininpHkrOkyxIkyy，(16)式中，p為展開截?cái)鄶?shù)，cy為多極展開中心，且滿足ccyyyx，如圖2。函數(shù)c()nOyx和c()nIyy分別定義如下：(2)icc(,)(||)enniniOkyxHkyx，(17)icc(,)J(||)enniniIkyykyy，(18)式中，J()ng為第一類貝塞爾函數(shù)，，分別為向量與x正方向的夾角，如圖3。核函數(shù)的多極展開截?cái)鄶?shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[15]為0pkDclg(kDπ)，(19)式中，D為葉子或父細(xì)胞邊長，c0為精度控制參數(shù)。圖2多極展開Fig.2Multipoleexpansion圖3Graf加法平面參數(shù)Fig.3Grafadditionplaneparameters將式（16）代入式（2）可得積分式的多極展開：,cc1()(,)d(,)()4πpOkjijynijSnpyGxySMkyyNyx,cc(,)()OhnijMhyyNyx，(20)2,ccc21(,)()(,)CknijijnijCkyxNyxCkyxkxx，(21)2,cc21(,)()ChnijijChyxNyxkxx。(22)式中，nC為nO或nI，(,)ncMqyy稱為關(guān)于點(diǎn)cy的多級展開系數(shù)，即cc(,)()(,)dnjnySMqyyyIqyyS。(23)從式（20）可以看出基本解已經(jīng)被分離成x和y獨(dú)立的兩部分，從而cM(yy)只需計(jì)算一次便可重復(fù)用于

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