1980年,Klaus von Klitzing等人在半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)的二維電子氣中發(fā)現(xiàn)了量子霍爾效應(yīng)(The quantum Hall effect)這種新的態(tài)不能被朗道的對(duì)稱性破缺理論來描述。之后,科學(xué)家被這種新穎的現(xiàn)象所吸引,1982年,Thouless和合作者提出了一個(gè)新的理論,這種理論用一個(gè)拓?fù)鋽?shù)來描述這種量子霍爾相,被稱為TKNN不變量,也叫做第一陳數(shù),首次在凝聚態(tài)物理中引入了拓?fù)涞母拍�。與此同時(shí),許多實(shí)驗(yàn)學(xué)家也希望在材料中尋找出來其他拓?fù)湎�。首先是拓�(fù)浣^緣體,也被叫做量子自旋霍爾相,這種體系具有無能隙的邊界態(tài)和有能隙的體態(tài),這種奇特的能帶性質(zhì)導(dǎo)致其能在表面態(tài)導(dǎo)電而體系內(nèi)部絕緣,其表面的二維電子是研究量子霍爾效應(yīng)的好的平臺(tái)。之后是拓?fù)涑瑢?dǎo)體,絕緣體可以具有拓?fù)湫再|(zhì),那超導(dǎo)體也應(yīng)該可以,從這個(gè)簡(jiǎn)單的想法出發(fā),科學(xué)家的確發(fā)現(xiàn)了這樣一種拓?fù)涑瑢?dǎo)體,里面具有一些新奇的粒子,如Majorana費(fèi)米子。之后由于拓?fù)鋀eyl半金屬和Dirac半金屬的理論發(fā)現(xiàn),科學(xué)家將焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到拓?fù)浒虢饘偕蟻?在過去的幾年里,Weyl和Dirac半金屬的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)使這一領(lǐng)域成為凝聚態(tài)物理學(xué)的熱點(diǎn),拓?fù)浒虢饘儆袩o能隙的體態(tài)和對(duì)應(yīng)的邊界態(tài),具有一些非平庸的拓?fù)湫再|(zhì),如非平庸的貝利相,繞數(shù)等。對(duì)于整數(shù)量子霍爾效應(yīng),通常來說,只能在二維系統(tǒng)中觀察得到,因?yàn)槎S體系下能帶才能形成離散的朗道能級(jí)而使得電導(dǎo)只由邊界態(tài)提供,體態(tài)不參與輸運(yùn),從而使得表面產(chǎn)生無耗散電子傳輸。但最近科學(xué)家提出量子霍爾效應(yīng)可以通過Weyl軌道存在于半金屬中,并且有一些實(shí)驗(yàn)證實(shí)Dirac半金屬CdAs可以具有量子霍爾效應(yīng)。到目前為止,Dirac和Weyl半金屬中的量子霍爾效應(yīng)已經(jīng)被理論計(jì)算得到,在本論文中,我們研究了一類新的拓?fù)浒虢饘?拓?fù)涔?jié)線型半金屬(Topological nodal-line semimetal)。相對(duì)于Dirac半金屬和Weyl半金屬的點(diǎn)狀費(fèi)米面,這種新的半金屬的費(fèi)米面在第一布里淵區(qū)是一條線,叫做nodal ring,這就導(dǎo)致其在邊界態(tài)具有更高的態(tài)密度,輸運(yùn)性質(zhì)更好,因此更可能適應(yīng)于實(shí)際應(yīng)用。拓?fù)涔?jié)線型半金屬由于具有更高的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),因此需要額外的對(duì)稱性來保護(hù),其對(duì)稱性被破壞之后,就會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)镈irac半金屬,Weyl半金屬或者拓?fù)浣^緣體。本論文中,第一章,我們首先簡(jiǎn)要地介紹量子霍爾效應(yīng),拓?fù)浣^緣體以及拓?fù)浒虢饘俚南嚓P(guān)基礎(chǔ)。我們還額外列出了三維量子霍爾效應(yīng),因?yàn)檫@與一般的二維量子霍爾效應(yīng)有較大的區(qū)別,之前有理論表明三維不存在量子霍爾效應(yīng),但是新觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象似乎在打破這一理論。之后,我們通過閱讀最近發(fā)表的關(guān)于拓?fù)涔?jié)線型半金屬的文章,總結(jié)了提出或著被確定為節(jié)線型半金屬的材料,由于節(jié)線型半金屬可能由不同的對(duì)稱性保護(hù),我們并通過對(duì)稱性對(duì)不同的節(jié)線型半金屬大致分為了四類。之后,通過文獻(xiàn)引述,簡(jiǎn)要地解釋了我們的課題來源,主要為解決節(jié)線型半金屬量子霍爾效應(yīng)數(shù)值計(jì)算�；仡櫫藝鴥�(nèi)外關(guān)于拓?fù)涔?jié)線型半金屬,三維量子霍爾效應(yīng)等的研究現(xiàn)狀,最后列出我們主要的研究內(nèi)容,主要包括拓?fù)涔?jié)線型半金屬體態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)與表面態(tài)的計(jì)算,霍爾電導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算以及霍爾電導(dǎo)相關(guān)參數(shù)分析。第二章,我們推導(dǎo)了節(jié)線型半金屬的一些拓?fù)湫再|(zhì),首先,構(gòu)造了一個(gè)節(jié)線型半金屬的所有拓?fù)湫再|(zhì)的兩袋模型哈密頓量,這個(gè)兩帶模型能夠體現(xiàn)拓?fù)涔?jié)線型半金屬的能帶性質(zhì),導(dǎo)帶和價(jià)帶相交于一條線。由這個(gè)哈密頓量出發(fā),計(jì)算了節(jié)線型半金屬的一些拓?fù)洳蛔兞俊Ｎ覀冇?jì)算了節(jié)線型半金屬的繞數(shù)(Winding number),這是一個(gè)一維的由k_x,k_y決定的拓?fù)鋽?shù),計(jì)算分為三種情況,連續(xù)模型,也就是我們構(gòu)造的初始模型,由于通常的體系因?yàn)橛须s質(zhì)具有能隙,我們計(jì)算了系統(tǒng)有能隙時(shí)的繞數(shù),最后對(duì)于一個(gè)晶格模型,我們也計(jì)算了他的繞數(shù),總結(jié)全部我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)(k_x,k_y)點(diǎn)處于拓?fù)涔?jié)線型半金屬導(dǎo)帶和價(jià)帶相交的區(qū)域之內(nèi)時(shí),也就是處于nodal ring內(nèi)部時(shí),可以計(jì)算得到非零的繞數(shù)值。然后我們?cè)诤?jiǎn)要介紹了一下貝利相(Berry phase)之后,計(jì)算了拓?fù)涔?jié)線型半金屬的貝利相。計(jì)算得到,在取不同的積分環(huán)路時(shí),當(dāng)積分環(huán)路繞過切只繞過nodal ring一次時(shí),貝利相有不同的±π值,其正負(fù)取決于所繞的動(dòng)量值的正負(fù),當(dāng)積分環(huán)路不繞過nodal ring時(shí),貝利相的值為0。繞數(shù)和貝利相都是系統(tǒng)體態(tài)的性質(zhì),我們證明了拓?fù)浒虢饘僦械呢惱嗯c繞數(shù)的等價(jià)性,由于計(jì)算繞數(shù)時(shí)需要保證正無窮大和負(fù)無窮大是同一個(gè)點(diǎn),因此計(jì)算繞數(shù)所歷經(jīng)的積分路徑和計(jì)算貝利相的積分環(huán)路是等價(jià)的。計(jì)算完成系統(tǒng)體態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)之后,我們分三種情況計(jì)算了拓?fù)涔?jié)線型半金屬的邊界態(tài),區(qū)分條件是哈密頓量有沒有平庸項(xiàng)和體系有沒有磁場(chǎng),當(dāng)體系沒有平庸項(xiàng),沒有磁場(chǎng)時(shí),計(jì)算得到了零能的表面態(tài),當(dāng)體系具有平庸項(xiàng)時(shí),可以計(jì)算得到鼓裝的表面態(tài),其表面態(tài)都以nodal ring為邊界,分布在nodal ring的內(nèi)部。對(duì)比拓?fù)涔?jié)線型半金屬體態(tài)的拓?fù)鋽?shù)與表面態(tài)的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)之間有著很深刻的聯(lián)系,所有的性質(zhì)都與nodal ring的位置有很大的關(guān)系,貝利相和繞數(shù)的存在保證了邊界態(tài)的存在。在拓?fù)浒虢饘僦?邊界的性質(zhì)可以被體態(tài)的性質(zhì)決定,叫做體態(tài)-邊界態(tài)對(duì)應(yīng)(bulk-boundary correspondence),其具有深遠(yuǎn)的物理意義。計(jì)算了這個(gè)模型的拓?fù)湫再|(zhì)之后,我們可以確定,這一模型具有我們所需要的用于計(jì)算量子霍爾效應(yīng)的所有性質(zhì),因此我們開始計(jì)算此體系的量子霍爾效應(yīng)。在第三章我們利用久保公式計(jì)算了拓?fù)涔?jié)線型半金屬的霍爾電導(dǎo),首先我們簡(jiǎn)要地介紹了一下久保公式,而且計(jì)算了在二維的情況下,久保公式可以用貝利相來表示,也就是說,二維情況下如果體系具有非零的貝利相就說明可以具有量子霍爾效應(yīng),通過一個(gè)二維周期性邊界模型作了簡(jiǎn)要說明。之后,我們數(shù)值計(jì)算了一個(gè)塊狀樣品的量子霍爾效應(yīng),通過Fortran程序編程以及MPI并行程序,利用久保公式,首先在垂直于nodal ring的磁場(chǎng)下取一組基底,寫出模型的哈密頓量矩陣,用基底將矩陣延展后,再計(jì)算得到相應(yīng)的本征態(tài)和本征能量,之后計(jì)算速度算符的矩陣,將計(jì)算得到的本征值,本征能量,速度帶入久保公式后即可計(jì)算得到霍爾電導(dǎo)。根據(jù)之前的文章選擇合適的參數(shù),計(jì)算得到的霍爾電導(dǎo)處于e~2/h的整數(shù)倍的數(shù)值上,因此得到結(jié)論,類似于Dirac半金屬和Weyl半金屬,拓?fù)涔?jié)線型半金屬也可以存在量子霍爾效應(yīng),這是本論文最主要的結(jié)果。第四章,由于這種存在三維拓?fù)浒虢饘袤w系中的量子霍爾效應(yīng)與通常只存在于二維的量子霍爾效應(yīng)有很大的不同,其產(chǎn)生機(jī)理目前尚無定論,有一種理論解釋是對(duì)于Weyl半金屬,Weyl orbits可連接上下兩個(gè)面的Fermi arc,形成這種三維的量子霍爾效應(yīng)。對(duì)于拓?fù)涔?jié)線型半金,此我們也想要簡(jiǎn)要的分析一下拓?fù)浒虢饘僦腥S量子霍爾效應(yīng)形成的原因,對(duì)此,我們研究了樣品厚度和費(fèi)米能量對(duì)量子霍爾效應(yīng)的影響,并利用Onsager關(guān)系解釋了得到的結(jié)果。對(duì)于樣品厚度,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)改變樣品厚度,但厚度不產(chǎn)生量子限制效應(yīng)時(shí),樣品的厚度不會(huì)影響量子化的霍爾電導(dǎo)的值。對(duì)于費(fèi)米能量,由表面態(tài)決定的Onsager關(guān)系,我們可以得到費(fèi)米能和霍爾平臺(tái)寬度的關(guān)系,通過與數(shù)值計(jì)算得到的霍爾平臺(tái)關(guān)系的比較,我們可以發(fā)現(xiàn),其數(shù)值大小比較吻合,因此可以確定,當(dāng)磁場(chǎng)垂直于nodal ring時(shí),拓?fù)涔?jié)線型半金屬的量子霍爾效應(yīng)是由表面態(tài)帶來的。但這些證據(jù)還不足以完全說明,我們之后會(huì)對(duì)這一方面進(jìn)行更加深入的研究。本論文的主要結(jié)論有,一,用一個(gè)拓?fù)涔?jié)線型半金屬的兩帶模型計(jì)算得到了拓?fù)涔?jié)線型半金屬的體態(tài)拓?fù)湫再|(zhì)和邊界態(tài)以及他們的關(guān)系,繞數(shù),貝利相,鼓狀表面態(tài)與nodal ring的位置相關(guān)聯(lián),表面態(tài)由體態(tài)所決定,存在體態(tài)-邊界態(tài)對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象。二,數(shù)值計(jì)算得到了拓?fù)涔?jié)線型半金屬的霍爾電導(dǎo),發(fā)現(xiàn)此體系會(huì)有量子霍爾效應(yīng)。三,計(jì)算了參數(shù)樣品厚度與費(fèi)米能對(duì)量子化的霍爾電導(dǎo)平臺(tái)的影響,并利用Onsager關(guān)系,解釋了其原因,初步推測(cè)其量子霍爾效應(yīng)來源于邊界態(tài)。
【學(xué)位單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2019
【中圖分類】：O471.1
【文章目錄】：
Detailed Chinese abstract
Abstract（In English）
Chapter 1 Introduction
    1.1 Research background
        1.1.1 The quantum Hall effect
        1.1.2 Topological insulator
        1.1.3 Topological semimetal
        1.1.4 3D quantum Hall effect
    1.2 The source of the project
    1.3 The progress and achievements in the related fields at home and abroad
    1.4 Research contents
Chapter 2 Topological properties of nodal-line semimetal
    2.1 Model Hamiltonian
    2.2 Winding number
        2.2.1 Continuous Model
        2.2.2 Winding number when Hamiltonian has a energy gap
        2.2.3 Lattice model
    2.3 Berry phase
        2.3.1 Brief depict of Berry phase
        2.3.2 Berry phase of nodal line semimetal
    2.4 Drumhead surface states
        2.4.1 Case 1: No trivial terms, without field
        2.4.2 Case 2: Has trivial terms, without field
        2.4.3 Case 3: Has trivial terms, with field
    2.5 Energy dispersion of a slab
    2.6 Brief summary of this chapter
Chapter 3 The Quantum Hall effect of nodal-line semimetal
    3.1 Kubo formula for electrical conductivity
        3.1.1 Between the Berry phase and the Kubo formula
    3.2 Quantization of Hall conductance
    3.3 Slab under a magnetic field
    3.4 Numerical calculation for total Hall conductivity
    3.5 Brief summary of this chapter
Chapter 4 Origin of 3D quantum Hall effect
    4.1 Onsager relation
    4.2 Sample thickness
    4.3 Fermi energy
    4.4 Brief summary of this chapter
Conclusions
References
Chapter A Appendix
    A.1 Energy dispersion Fortran77 code of nodal line semimetal
    A.2 Hall conductance Fortran77 code of nodal line semimetal
        A.2.1 Parameters
        A.2.2 Hall conductance subroutine program
        A.2.3 Main program （MPI）
Acknowledgements

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本文編號(hào)：2866833