【摘要】：隨著現(xiàn)代電子科技的高速發(fā)展,電子電路的集成度越來越高,電子電路的尺寸也不斷的向著納米級別甚至更低的尺度發(fā)展。高集成度電路一直是現(xiàn)代工程研發(fā)和仿真運算的熱門領域。在對于納米級別或者亞納米級別電路或者器件進行研發(fā)設計時,由于量子效應逐漸凸顯,僅使用傳統(tǒng)的麥克斯韋方程組的單物理建模手段已經無法滿足實際需求。因此,針對量子效應在納米尺寸仿真占比重的問題,能夠同時考量電磁效應與量子效應的建模方法的研究引起了電子科學學科學者們的廣泛關注。對于電磁效應而言,麥克斯韋方程組能夠系統(tǒng)而準確的描述電磁場的變化和影響。傳統(tǒng)的電磁效應建模的出發(fā)點大多數(shù)是麥克斯韋方程組,由此衍生出諸多經典理論。同時,由于單純理論解析對于實際問題來說,求解往往非常困難。隨著計算機技術的飛速發(fā)展,研究者們將計算機運算技術與麥克斯韋方程組相結合,開創(chuàng)了經典的時域有限差分、矩量法、有限元法等對實際問題而言有效且通用的計算電磁學算法理論,為工程設計研發(fā)做出了巨大的貢獻。對于量子效應而言,薛定諤方程是系統(tǒng)解釋微觀粒子運動、易于與計算機運算結合的理論公式。通過求解薛定諤方程可以得到微觀粒子的本征能量、本征頻率和波函數(shù)分布等參數(shù)。而對于納米器件量子效應的研究,其有效切入點之一便是求解器件的電子的本征能量、本征態(tài)等參數(shù),從而推導計算出器件的量子效應對于電荷密度、電流大小的影響。如何準確而高效的將電磁效應中麥克斯韋方程組與量子效應中薛定諤方程耦合,是研究電磁-量子多物理場問題的關鍵。電子受到電磁場影響產生運動,而電子運動本身代表了波函數(shù)的改變和新的電流產生。電子產生的電流同時產生新的電磁場,影響著原先電磁場。解決這個相互作用問題便是這個領域的核心思想。基于這個思想,當前研究者們對電磁-量子多物理問題取得了長足的進展,主要分為兩種算法流派。對于第一種算法,因為受到電磁場影響的含時薛定諤方程的求解需求磁矢量、電標量的參與,故其核心思想是:1.通過計算麥克斯韋方程組得到當前時刻的電場和磁場值2.通過得到的電磁場值,運用磁矢勢、電標量的定義以及洛倫茲規(guī)范,計算出所需的磁矢勢、電標量3.代入磁矢勢、電標量,計算受到電磁場影響的含時薛定諤方程得到系統(tǒng)的波函數(shù)4.通過波函數(shù)計算出電子運動產生的電流,作為額外項代入下一課時麥克斯韋方程組中計算,從而達到耦合電磁系統(tǒng)與量子系統(tǒng)的作用。這種算法直接使用傳統(tǒng)麥克斯韋方程組進行迭代,在每一時間都需要進行電磁場與磁矢勢、電標量的置換運算,然后代入薛定諤方程中,所以導致算法的耦合度不高、消耗的計算機內存大、仿真所需時間偏長。同時,如果提高仿真空間的精度、大小,計算機內存的消耗、計算性能的要求會急劇增加。如果與辛結構、隱式差分等提高精度的方法相結合,更是對計算機性能和仿真時間需求的巨大挑戰(zhàn)。另一種流派的核心思想是通過一系列近似替換,將受電磁場影響的薛定諤方程近似表示為只包含電場的形式,同時忽略掉量子系統(tǒng)對于電磁系統(tǒng)的電流影響項。這樣算法的步驟相對前者會有很大的簡化:1.計算當前時刻的電場磁場值2.計算只包含電場項、與磁矢勢電標量無關的薛定諤方程近似形式3.代入當前時刻的值計算下一時刻各種值。這種算法的仿真步驟簡單,對于計算機內存和計算性能要求不高,計算速度也相對快。但是由于基于各種近似和忽略電磁效應與量子效應的相互影響,與實際情況有誤差,而且隨著仿真時間的增加,這個誤差會不斷累積放大,對于精確的求解納米級別的器件的長時間、復雜仿真情況,往往力不從心。針對上述的各種情況,本文主要通過理論研究和數(shù)值計算方法探索新的解決電磁效應與量子效應多物理場仿真的方法。本文的主要研究工作為以下幾個方面:(1)簡單介紹了電磁計算學中常用的數(shù)值方法的種類,包括矩量法、有限元法和時域有限差分法等。以麥克斯韋方程組為例,著重對本論文使用的時域有限差分的實行步驟進行介紹,系統(tǒng)分析了該方法的數(shù)值穩(wěn)定性和數(shù)值色散特性。討論了時域有限差分方法的差分方法,分析了不同差分格式下離散格式的精度和計算性能等問題。(2)論文從麥克斯韋方程組出發(fā),通過對磁矢勢、電標量的理論研究,推導出了能夠直接迭代的磁矢勢、電標量方程組。該方程組能夠避開計算電場、磁場,直接迭代磁矢勢、電標量的性質,更使用于各種需要磁矢勢和電標量的建模場合。并通過時域有限差分方法,對提出的磁矢勢和電標量方程組進行離散差分,給出了其易于計算機實現(xiàn)的形式結構。(3)分別以復數(shù)坐標延伸和完美匹配吸收理論為基礎,推導出適用于磁矢勢和電標量迭代方程組的完美匹配吸收邊界。經過仿真實驗與理論解對比,證明了所提出的吸收邊界能夠有效吸收邊界磁矢勢、電標量,在長時間仿真中能夠保證不產生影響仿真結果的反射。(4)通過時域有限差分方法對薛定諤方程進行定性研究,給出了薛定諤方程的離散差分形式。同時引入辛結構進一步耦合薛定諤方程,從理論層面證明了辛結構對薛定諤方程的適用性,并給出了辛結構中辛傳播子的求解方法。然后通過仿真實驗、理論分析值對分別使用普通二階時域有限差分方法、高階時域有限差分方法、引入辛結構的時域有限差分方法的薛定諤離散數(shù)值方程進行測試,證明了辛結構對于量子系統(tǒng)仿真中長時間仿真、密集網格劃分的情況具有更穩(wěn)定、仿真結果更精確的優(yōu)勢。(5)從理論層面推導出了受到電磁效應影響的薛定諤方程形式,針對其僅與磁矢勢和電標量強相關的特點,提出了基于電磁勢能和薛定諤修正方程耦合的算法。該算法分為兩個部分:電磁部分使用提出的磁矢勢和電標量方程取代傳統(tǒng)的麥克斯韋方程組;量子效應方面使用受到電磁效應影響的薛定諤方程。通過量子效應計算出的電流項、磁矢勢和電標量影響薛定諤方程這兩個方面成功耦合了電磁-量子多物理系統(tǒng)。并在此基礎上,對整個算法引入辛結構,提出了辛結構下的電磁勢能方程-薛定諤方程耦合算法,使之具有了辛算法的長時間仿真穩(wěn)定性、量子系統(tǒng)能量保一性的優(yōu)點。(6)針對傳統(tǒng)量子態(tài)控制電流計算算法耦合度不高、計算誤差大的問題,以磁矢勢和電標量方程組、薛定諤方程為基礎,結合波函數(shù)變換和量子態(tài)控制電流計算理論,提出了基于電磁勢能的新型量子態(tài)控制電流計算算法。值得注意的是,在該算法的電磁勢能部分,我們通過引入洛倫茲規(guī)范,進一步改進了磁矢量和電標量方程組,使之計算結構更簡潔、計算速度更快,電標量和磁矢勢處于同一取樣時刻,代入薛定諤方程中更為簡便。傳統(tǒng)的算法將受電磁場影響的薛定諤方程近似表示為只包含電場的形式,同時忽略掉量子系統(tǒng)對于電磁系統(tǒng)的電流影響項,帶來了理論近似誤差,無法通過改變計算精度消除。而提出的算法克服了這個缺點,從理論上來講,不存在近似誤差。最后通過仿真實驗對比提出的算法和傳統(tǒng)量子態(tài)控制電流計算算法,定性定量分析實驗結果,證明了提出的算法計算更為準確、控制能力更強的優(yōu)點。綜上所述,本論文主要著重于研究有效解決電磁效應-量子效應多物理場仿真的算法,通過電磁勢能和辛算法的研究,提出了耦合度高、計算精確高的算法結構。論文的主要創(chuàng)新點如下:(1)論文提出了磁矢勢和電標量的迭代方程組,給出了其時域有限差分格式。同時系統(tǒng)的研究和給出了對于這個迭代方程組的完美匹配層算法。使得磁矢勢和電標量方程組能夠如同傳統(tǒng)的麥克斯韋方程組仿真一樣,適用于各種需要模擬無限大空間和無反射空間的實際仿真情況。(2)通過耦合新型磁矢勢電標量迭代方程組和受電磁效應影響的薛定諤方程,構建了解決電磁效應-量子效應多物理問題的計算結構。同時理論證明了辛結構對于提出的算法的可行性,將辛算法與之結合,創(chuàng)立了一種新型的基于電磁勢能的電磁-量子辛算法。(3)論文建立了不基于忽略量子影響假設的、使用電磁勢能方程組的量子態(tài)控制電流算法,并改進提出了更為簡潔、計算效率更高的電磁勢能方程組形式。該算法能夠準確的計算激發(fā)帶電粒子從基態(tài)至激發(fā)態(tài)所需要的電流的精確值,并從仿真角度證明所計算的控制電流的控制性能和穩(wěn)定性。
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2019
【分類號】：O413;TN701
【圖文】：

果和理論分析結果，觀察算法的精確性以及吸收邊界的有效性。那么對于電磁勢逡逑方程，我們同樣使用經典的點源仿真從理論和仿真觀察這組電磁勢更新方程的性逡逑能。本小節(jié)會從仿真圖結果、仿真值與理論對比、計算累計誤差三個方面分析提逡逑出的電磁勢仿真算法以及電磁勢卷積完美匹配層理論的精確性和有效性。逡逑將一個偶極子源放在無限大空間的真空中，其源為Ｊ＝ｉｓｉｎ（２；ｒ／0的ｘ軸方向逡逑電流，頻率為０．１ＧＨｚ。仿真網格劃分為１６８，１６８，邋１６８的三維空間；外層的完美逡逑匹配層的厚度為２０個網格；每個網格劃分的單位是０．３米；仿真時間長為１０００００逡逑個時間步長。那么通過電磁場理論我們可以寫出其理論傳播解：逡逑Ａ邋＝邋ｘ＾－ｅ：ｋｒｅ＇￣－邐（３－６８）逡逑Ａｎｒ逡逑７７逡逑０邋＝邋ｃｏｓ６——ｅｉｋｒｅ＇２邐（３－６９）逡逑４＾ｒ逡逑仿真結果如下圖：逡逑ｐｈｉ邐ｐｈｉ逡逑

（ａ）邐（ｂ）逡逑圖３－２邋（ａ）為磁矢量ｘ分量在ｘｙ平面的強度圖；（ｂ）為磁矢ｘ分量在ｘｙ平面的強度圖。逡逑２ｘ邋１０邋９邐—一逡逑；—ａｎａｌｙｔｉｃａｌ邋ｉ逡逑：？邋ｓｉｍｕａｌｔｅｄ邋：逡逑１邐Ａ邋／？逡逑0｜＂廣．Ｗ／邐＼邐＼邐！邋Ｉ邋／邋＼邋／＂＇ｖ＇逡逑“Ｖｓ邋！邐Ｖ邋ｖ逡逑－１邐ｉ逡逑－２邐！逡逑■３邐丨ｉ逡逑．３邐Ｉ邋Ｉ逡逑ｉ邋Ｉ逡逑：邋１逡逑５邐１０邐１５邐２０邐２５邐３０邐３５邐４０邐４５邐５０逡逑Ａｘ｛．邋１６８／２，１６８＾）逡逑（ａ）逡逑０．８邐＇邐？邐ｉ邐：￣■邐ｈ逡逑！—ａｎａｌｙｔｉｃａｌ邋：逡逑ｆｖ邐丨、ｓｉｍｕａｌｔｅｄ；逡逑0６＿邐卜邐＾逡逑0．４邐ｉ＇邐�。苠义希椋殄澹湾义�°－２邐／，邋｜Ｊ邋ｉ邋Ａ逡逑ａ邋；ｒ－邋；邋？邐ｉ邋；邋＼逡逑ｖ邋＼；邋；邋ｉ邋；．邋■邋Ｊ邋Ｖ邋ｖ逡逑？０．２邐Ｖ邋Ｈ邋；邐Ｖ逡逑＼ｊ邋ｊ逡逑－０．４邐？逡逑４邋ｔ逡逑－０．６逡逑１逡逑？０８邐－邐１５邐２0＂￣邐２５￣邐３０邐３５邐４０邐４５邐５０逡逑ｐｈｉ（．邋１６８／２，１６８／２）逡逑（ｂ）逡逑圖３－３邋（ａ）磁矢量的ｘ分量仿真與理解計算值比較；（ｂ）電標量的ｘ分量仿真與理解計算值逡逑比較。逡逑２８逡逑

ｐｈｉ（．邋１６８／２，１６８／２）逡逑（ｂ）逡逑圖３－３邋（ａ）磁矢量的ｘ分量仿真與理解計算值比較；（ｂ）電標量的ｘ分量仿真與理解計算值逡逑比較。逡逑２８逡逑

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