本文關(guān)鍵詞：復(fù)合材料三維重構(gòu)及力學(xué)性能的有限元數(shù)值分析，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

山東大學(xué)博十學(xué)位論文；‰，＝菇；ｔ螄，…擴ｐ；同樣求出ｐ－１次曲線的節(jié)點矢量甜川＝｛“ｆ－�。唬剩铮玻辏毂牐常ǎ矗┥暾垉�(nèi)存空間，用于存放待選；ｆｏｒｆ＝ｐ＋ｌｔｏｎｄｏ；ａ＝Ｍ占１＋（１一ｐｇ，）＋（ｕ７一甜一／７－１；ｂ＝ｕ７＋∥，＋（≯一一ｕ７）＝（１－ｐｅｒ）＋；玩《－－ｉｎｐｕｔｋｎｏｔｃｌｏｓｅｔｔｏｕ７；以蟊∈（Ｃｌ，６）島＝玩ｅｌｓｅｓｆ＝

山東大學(xué)博十學(xué)位論文

‰，＝菇；ｔ螄，…擴ｐ

同樣求出ｐ－１次曲線的節(jié)點矢量甜川＝｛“ｆ－！ｙＵｌＰ－Ｉｏ??甜。ｐ＋－。Ｉ）。

Ｊｏ２ｊｌ睜３）（４）申請內(nèi)存空間，用于存放待選定的節(jié)點矢量Ｓ＝ｐ。，置，…，Ｓｎ…。），令２…２Ｓ，２ｔｏ’Ｓｎ＋ｌ２Ｓｎ．２２…５Ｓｎ＋ｐ＋ｌ。ｔ＾。

ｆｏｒｆ＝ｐ＋ｌｔｏｎｄｏ

ａ＝Ｍ占１＋（１一ｐｇ，）＋（ｕ７一甜一／７－１）＝（１－ｐｅｒ）＋妒＋∥＋ｚ蕩１

ｂ＝ｕ７＋∥，＋（≯一一ｕ７）＝（１－ｐｅｒ）＋ｕ７＋ｐ卯＋“■

玩《－－ｉｎｐｕｔｋｎｏｔｃｌｏｓｅｔｔｏｕ７

以蟊∈（Ｃｌ，６）島＝玩ｅｌｓｅｓｆ＝ｚ壚

ｅｎｄ’

（５）根據(jù)所求丁，ｓ來插值數(shù)據(jù)點Ｑ（ｆ＝０，１，…，”），得到曲線ｃ（“），合并節(jié)點矢量ｕ，ｓ并賦值

給ｕ。

該算法預(yù)先定義了Ｐ次理想節(jié)點矢量“，以及ｐ—１次節(jié)點矢量“，．，然后判斷候選節(jié)點矢量中是否有處于柔性間距范圍內(nèi)的節(jié)點，如果有，就選擇最接近于理想節(jié)點的存入應(yīng)用于本次曲線的節(jié)點矢量；否則，理想節(jié)點被選中存入應(yīng)用于本次曲線的節(jié)點矢量；應(yīng)用獲得的節(jié)點矢量進(jìn)行曲線插值，在插值曲線完成后，進(jìn)行節(jié)點合并處理，合并后的候選節(jié)點增加了一些新的理想節(jié)點數(shù)據(jù)。

那么根據(jù)這樣的曲線插值方法，可以得到曲面的插值方法：

（１）選擇序列曲線中具有最多型值點的幾條曲線，將其參數(shù)化，求出節(jié)點矢量，然后將其

平均得到最初的公共節(jié)點矢量；

（２）采用各層的型值點按照上述的曲線插值方法進(jìn)行插值，并更新公共節(jié)點矢量：（３）用最終獲得的公共節(jié)點矢量使各條曲線相容，方法是采用節(jié)點插入算法；

（４）獲取縱向的控制頂點和控制節(jié)點矢量。

５．１．２節(jié)點插入【１０１ｌ

各層曲線相容化的方法是插入節(jié)點。在采用柔性間距的方法獲取了最終的公共節(jié)點矢量后，就需要進(jìn)行相容化處理。其方法就是插入節(jié)點，相應(yīng)的頂點增加相同的個數(shù)。

設(shè)已知一條ｋ次Ｂ樣條曲線：

ｃ（甜）＝∑ｄ，Ｎ１，ｋ（“）（５４）

第５章復(fù)合村抖的幾何葷構(gòu)

其中，Ｂ樣條基由節(jié)點矢量

Ｕ＝ｐｏ，托，…，％＋“ｌ】

完全決定�，F(xiàn)在要在曲線定義域某個節(jié)點區(qū)間內(nèi)插入一個節(jié)點“ｅ［ｕｔ，％。］：Ｉｕｋ，ｌ／ｎ�！浚谑堑玫叫碌墓�(jié)點矢量：

Ｕ＝【甜ｏ，“ｌ，?一，／ｄｒ，甜，“ｆ＋ｌ，?一，Ｕ月＋Ｉ＋Ｉ】

重新編號后為：

Ｕ＝【瓦，玩，一，巧，Ｚ“，玩＋２，…，／一ｌｎ＋ｌ＋２】

這個新的節(jié)點矢量驢決定了一組新的Ｂ樣條基冠。（“）“＝ｏ，Ｉ，…，一＋Ｉ）。原來的Ｂ樣條－．１５線就由這組新的Ｂ櫸條基與未知新頂點Ｚ（，＝０，１，…，ｎ＋１）表示出來：

ｎ＋ｌ

ｃ（“）＝∑Ｚ瓢（“）

』，０

控制頂點增加一個，曲線形狀和連續(xù)性均保持不變．

伯姆１１３４ｊ的節(jié)點插入算法給出了這些未知的新頂點的計算公式：

ｔ＝ｄ，

刁“＝叫＝（１一口：）ｔ＋口：乃＋，＝Ｉ｜Ｏ＾¨—．，ｔ一¨川一ｒ一

咖東‰（＝００＝。）‘５５

“ｊ．ｈ１一Ｈｊ“＼ｊ。

ａｉ＝ｄＨ＿，＝ｉ一，十ｌ，…，打＋Ｉ

其中ｒ表示所插節(jié)點“在老節(jié)點矢量Ｕ中的重復(fù)度，若甜。＜Ｕ＜Ⅳ。，則，＝０。若重復(fù)度ｒ＜ｋ，則有“；“。＝“，一ｌ＝¨一“…ｌ。這個算法實質(zhì)上就是ＤｅＢｏｏｒ算法求｜｜｝次Ｂ樣條曲線上的一點ｃ０），“∈（Ｕａ，Ｕ�！浚恪�，“�！康牡谝患夁f推。當(dāng)，＝０時，它僅僅涉及節(jié)點序列”Ｊ－ｋ＋ｌ，Ｕ，４＋２＇…“ｍ和控制頂點序列ｄ“，ｄＨｍ…，ｄ，，生成新頂點Ｚ－Ｉ＋ｌ互＾＋２，…，互取代老頂點西ｍ”ｄＨ＋２，…，ｄｊ．Ｊ。

５．１．３在逼近條件下的序列輪廓公共節(jié)點矢量的確定

在第三章中我們獲得了一定精度條件下的序列輪廓。由于各層輪廓長度的不同，所以在相同的精度條件下，得到的輪廓的控制點是不同的。但是為了能夠使序列輪廓能夠相容，應(yīng)該使控制點數(shù)相同。所以我們的輪廓的相容步驟為：

（Ｉ）選擇一定的控制精度下，輪廓的控制點數(shù)最多的輪廓的控制點數(shù)ｍ＋ｌ做為標(biāo)準(zhǔn)，其余的輪廓的控制點數(shù)調(diào)整為ｍ＋ｌ，其中首末控制點重合，然后按照３．６．２節(jié)的方法重新進(jìn)行輪廓的逼近，這樣得出的序列輪廓的精度大于或等于選定的控制精度。

－８３．

（２）求出Ｐ次曲線的節(jié)點矢量“，＝ｔｕｇ，“，，…，“量：，），因為是封閉輪廓，所以其計算方法和開曲線有明顯的不同，其計算方法為：

①重新確定控制頂點的上界值，ｒ／一Ｊｗ＋Ｐ一，，，其中，為頂點的重復(fù)度，在此為１；②按照如。，＝ｄｊ（ｊ＝ｏ，１９?ａ－９ｋ—ｒ）確定Ｉ—ｒ＋１個重頂點，得到定義該封閉曲線的控制頂點ｄ，“＝０，１，…，Ⅲ，ｍ＋ｌ，…，帕；

③計算數(shù)據(jù)點參數(shù)丁＝ｆ，ｏ，‘，…，ｏ｝，計算方法可以是累計弦長參數(shù)化法；

④得到節(jié)點矢量Ｕ＝｛Ｕ０，％，…，Ｕ。訓(xùn)），其中定義域外的節(jié)點為：

｛Ｕ０，“Ｉ，…，Ｕｐ＿ｌ｝＝｛／＇ｇｎ－ｐ＋ｔ—ｌ，／．／月．ｐ＋２—１，…，Ⅳｎ—ｌ｝

｛／＇／ｎ＋２，Ⅳ＾＋，，…，‰＋ｐ＋１）＝｛１＋Ｕｐ＋ｌ，ｌ＋Ｕｐ＋２，…ｊ＋”２ｐ）

定義域內(nèi)的節(jié)點為：

ｔ，／ｐ＝０

，ｌ—Ｉ

鏟÷∑ｏ，ｊ－卜Ｐｉ＝ｐ＋ｌ，ｐ＋２，…，ｎ

％＋ｌ＝１

（３）平均各層輪廓的節(jié)點矢量得到初始的節(jié)點矢量：玎＝慨，甄，…，酩咖｝；

（４）更新節(jié)點矢量：

對于每層的輪廓的參數(shù)Ｔ＝｛，ｏ。ｔ…，‘｝，如果存在若干個整數(shù)ｋ∈【ｐ，蚪】滿足參數(shù)ｆ，∈（“。一日，‰＋‘）大于（ｐ一２），那么選擇其中節(jié)點跨度ｋ一““ｊ最大的那一個，在其中加入一個新的節(jié)點Ⅳ＝扛“＋ｕ／）／２，直至所有的，，∈（‰一ｌ一句，‰＋‘）小于等于ｐ一２）為止ｆ１３７】。最終得到公共節(jié)點矢量ｕ＝佤，玩，…，＿扁，，其中Ｃｔ，占，定義為研＝ｐｋ—ｌ一“¨ｌ和占，＝爿”Ｍ～‰Ｉ，其中Ｐ的取值范圍在【ｏ．３，１．ｏ】ｏ

５．１．４逼近條件下的依據(jù)公共節(jié)點矢量的輪廓

在上一節(jié)獲得了公共的節(jié)點矢量，一般情況下，公共節(jié)點矢量比各層輪廓各自的節(jié)點矢量要大，但是各層輪廓的控制點沒有增加，這樣控制點數(shù)少于公共節(jié)點矢量數(shù)，就無法獲得相應(yīng)的輪廓曲線。

文獻(xiàn)【１３７ｌ針對開曲線的公共節(jié)點矢量數(shù)多于型值點數(shù)的情況給出了一種解決方案。獲取一條用公共節(jié)點矢量和少于其的型值點插值出的Ｂ樣條曲線使的曲線的能量最小。設(shè)曲線為：

Ｅ夠）＝ｆ（口ｐ吖叩ｆｆｃ”汗）ｄｒ（５－６）其中ｃ協(xié)和ｃ’，（ｆ，分別是曲線ｃ和）的一階和二階導(dǎo)數(shù)，非負(fù)值口，∥稱為剛性和彈性系斛

第５節(jié)復(fù)合材料的幾何事構(gòu)

數(shù)．作為Ｂ樣條曲線，Ｃ（ｔ）可以被表示為：

Ｃ（ｔ１＝Ⅳ’Ｘ

其中，Ⅳ＝ＬⅣｏ’，，Ⅳｌ∥…，％】是Ｂ樣條基函數(shù)，工＝［ｂｏ，ｂｚ，…，ｋ】是控制頂點，那么在式（５－６）中的能量函數(shù)為：

Ｅ（ｃ）＝￡（石）＝Ｘ７（ｏｒｆＮ＇Ｎ’７ｄｔ＋＃Ｊ＇ＮＷ。７出ｋ＝ｘ７ＫＸ（５－７）式中Ⅳ（‘）是Ｂ樣條基函數(shù)的后階導(dǎo)數(shù)，Ｎ‘幻－－－［瞄，（，），Ⅳ乙（，），…，以，，（ｆ）】。

陣，是一個對稱的帶寬為２ｐ—Ｉ的矩陣。其具體形式為：置稱作剛性矩

Ｋｑ＝ｇ叫：。ｐｑ、ｒＮ？ｉ，吣＋ｐＮｔ：ｐ∞?Ｎ？。ｔｊ辦ｔ（５－８）蜀，采用Ｏａｕｓｓｉａｎ求積分的形式獲得．控制頂點可以通過最小化二次函數(shù)獲得；ｍｉｎＥ（Ⅳ）＝ｘｍ

（ｓｔ）ＡＸ＝Ｐ

其中Ｓｔ＝ｓｕｂｊｅｃｔ（５．９）ｔＯ，引入Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子ｖ＝Ｉｖｏ，ｖｌ，…，ｖ。１，，將該最小化問題轉(zhuǎn)化為解下面的線性方程：

一］［Ｗ］

點矢量的曲線。

新的控制頂點。ｐ吶求解上面的方程就可以得出是曲線的能量最小并且過型值點且節(jié)點矢量為公共節(jié)對于逼近條件下的輪廓曲線，我們的步驟是：根據(jù)獲得的公共節(jié)點矢量，取逼近曲線ｃ（“）上具有參數(shù)值氍（ｆ＝ｏ，ｌ，…，最｝的點ｃ（瓦）。根據(jù)３．３．２節(jié)的方法反算出輪廓曲線的

５．２構(gòu)建一個顆粒及顆粒的顯示

圖５．２．圖５．７給出了～個顆粒的１２層輪廓切面，本節(jié)的控制誤差為

如。ｍａ。ｘ（。ｒａｉｎ∥ｑ—ｃ（Ⅳ枷＿。ｒ～羅ｍｉ。．ｊｑ，一ｃ（“）｝

其中，�。�，在最大控制誤差選擇３．２的情況下，其中顆粒的第４和第５層輪廓的控制點數(shù)最多，為１６個；第１１層輪廓的控制點數(shù)最少為１２個，其余輪廓的控制點個數(shù)為１３．１５不等。將輪廓的控制點數(shù)都統(tǒng)一為１６個，得到的控制多邊形和逼近曲線如圖５，８．５．１３所示。其誤差如表５．１所示。

山東大學(xué)博Ｉ一學(xué)位論文

表５．１統(tǒng)一控制頂點數(shù)為１６時的各輪廓控制精度

Ｔａｂｌｅ５．１Ｔｈｅｔｏｌｅｒａｎｃｅｏｆｔｈｅｃｏｎｔｏｕｒｓｗｈｅｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｏｎｔｒｏｌｐｏｉｎｔｓ缸１６Ｉ輪廓ｌ２３４５

Ｅ２．９３．１７２．５３．２３．２

ｏｏ

圖５．２顆粒的第１，２層輪廓．

Ｆｉｇ．５．２Ｔｈｅｌｓｔ．２ｎｄｃｏｎｔｏｕｒｓｏｆｔｈｅｇｒａｉｎ

ｏｏ

圖５．４顆粒的第５，６層輪廓

Ｆｉｇ．５．４Ｔｈｅ５ｔ１１．６ｔｈＣＯｒｌｔＯＵｔＳｏｆｔｈｅｇｒａｉｎ

（二＞（二＞

圈５，６顆粒的第９，ｌＯ層輪廓

Ｆｉｇ，Ｙ．６Ｔｈｅ９ｔｈ。１０ｔｈｃｏｎｔｏｕｒｓｏｆｔｈｅｇｒａｉｎ６７８９１０１ｌ１２ｌ２．６２．６２．５２．８７２．８８２．４５２．４Ｉｏｏ圖５，３顆粒的第３，４層輪廓Ｆｉｇ．５．３Ｔｈｅ３ｒｄ．４ｔｈｃｏｆｌｔｏｕｒｓｏｆｔｈｅｇｒａｉｎｏｏ圈５．５顆粒的第７，Ｓ層輪廓圈５．７顆粒的第ｌｌ。１２層輪廓Ｆｉｇ．５．７ＴｈｅＩｌｔｈ，１２ｔｈ‘；ｏｉ２ｔｏｕｒｓｏｆｔｈｅｇｒａｉｎ

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