本篇論文主要研究了部分信息下由正倒向隨機微分方程驅(qū)動的隨機微分博弈問題,及其相關(guān)理論在金融中的應(yīng)用。全文共分為六章。在控制系統(tǒng)中,決策者需要根據(jù)已掌握的信息進行決策。大部分情況下,決策者無法獲取完全真實的狀態(tài)方程,觀測到全部的信息。因此,他們只能基于所掌握的部分信息或由觀測方程得到的信息進行決策,并對狀態(tài)方程的真實形式進行估計,得到濾波方程。同時,在經(jīng)典的控制系統(tǒng)中,往往只考慮單一控制與單一目標的問題。然而實際中,存在如囚徒困境等多決策者多目標的博弈情形。在制定策略時,決策者需要考慮他人的策略,使自身的代價泛函達到最優(yōu)。問題變?yōu)閷ふ也┺牡摹癗ash均衡點”,而不再是“最優(yōu)控制”。單一參與者的最優(yōu)控制問題也可認為是多參與者博弈問題的特殊情況。而隨機微分博弈問題,即以動態(tài)的隨機微分方程刻畫狀態(tài)方程,構(gòu)建博弈系統(tǒng),針對相應(yīng)的Nash均衡點進行研究。在第一章中,我們對本論文涉及的研究背景進行介紹,并闡述每章工作的主要貢獻。第二章中,研究了部分可觀測情形下由正倒向隨機微分方程驅(qū)動的微分博弈問題。其中,正向隨機微分方程的擴散項系數(shù)包含控制變量,控制域為凸集。我們考慮博弈參與者無法完全觀測到真實的狀態(tài)過程,僅能通過各自的觀測方程進行決策。同時,考慮觀測方程與狀態(tài)方程之間存在相關(guān)噪聲,且觀測方程中顯式含有控制變量。利用凸變分技術(shù),我們引入了相應(yīng)的伴隨方程,得到Nash均衡點滿足的最大值原理(必要性條件)及驗證定理(充分性條件)。第三章中,在隨機線性二次系統(tǒng)下,研究了部分可觀測情形下的微分博弈問題。其中,狀態(tài)方程由正倒向的隨機微分方程驅(qū)動,正向方程中擴散項系數(shù)不含控制變量且控制域不要求為凸集。我們假設(shè)博弈參與者無法完全觀測到真實的狀態(tài)過程,僅能根據(jù)觀測過程產(chǎn)生的信息流進行決策。我們應(yīng)用倒向分離技術(shù)克服了博弈參與者控制過程適應(yīng)于受控信息流的循環(huán)依賴關(guān)系。應(yīng)用針狀變分方法,得到了該問題Nash均衡點滿足的必要性條件與充分性條件。同時,利用隨機濾波公式,得到了狀態(tài)的濾波方程,并給出了均衡點的狀態(tài)反饋表達形式與Riccati方程。作為理論應(yīng)用,我們引入g-期望作為凸風險測度的度量,研究了一類風險最小化的投資問題,并對結(jié)果進行了數(shù)值模擬與分析。第四章中,針對含有延遲與超前延遲的正倒向隨機微分方程,研究了部分信息下的微分博弈問題。同時,考慮博弈參與者只能基于不完全的信息流進行決策。我們利用凸變分技術(shù)建立了該模型下Nash均衡點滿足的最大值原理與驗證定理。進一步,針對含有延遲與超前延遲項的線性二次系統(tǒng),得到了 Nash均衡點的顯式表達式并證明了 Nash均衡點的存在唯一性。同時,我們利用隨機濾波公式得到了相應(yīng)的狀態(tài)濾波方程。最后,作為理論應(yīng)用,我們研究了一類帶延遲的風險最小化消費問題,給出了顯式的Nash均衡策略。第五章中,研究了具有時間不一致性的部分可觀測隨機線性二次控制系統(tǒng)。其中,狀態(tài)方程為由布朗運動和泊松跳過程共同驅(qū)動的正向隨機微分方程。不同于經(jīng)典形式的代價泛函,我們考慮其中包含有初始狀態(tài)依賴項與狀態(tài)條件期望的非線性項(平方項)。該類效用形式會導(dǎo)致動態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生時間不一致性,使得經(jīng)典的Bellman最優(yōu)性原理不再滿足,無法應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃方法進一步求解。針對每個時間點偏好的不同,我們由博弈的思想給出該類問題均衡控制的定義。進一步,在完全信息下,我們給出隨機系數(shù)模型均衡控制的顯式表達式。而后,在確定性系數(shù)情形下給出均衡控制滿足的反饋表達式與Riccati方程。最后,我們針對部分可觀測系統(tǒng),在特殊情形下給出了狀態(tài)濾波方程,并對均衡控制滿足的反饋表達式進行了驗證。第六章中,結(jié)合金融模型,研究了一類具有模型不確定性的魯棒最優(yōu)消費與投資組合問題。我們考慮投資者為模糊厭惡的(Ambiguity averse),即投資者由于無法獲知模型的準確分布而產(chǎn)生的厭惡的懷疑態(tài)度。模糊厭惡的投資者認為由現(xiàn)有數(shù)據(jù)產(chǎn)生的模型僅為“參考模型”并不準確,而其他的模型可能會更好。因此,投資者希望找到某種具有魯棒性(穩(wěn)健性)的最優(yōu)投資與消費策略,使得即使在模型最差的情況下,依然可以保證投資的穩(wěn)健性。在模型的假設(shè)中,我們考慮資產(chǎn)過程為具有隨機波動率的跳擴散過程,且投資者對于擴散風險與跳風險分別有不同的模糊厭惡程度。這里,假設(shè)投資者具有Duffie-Epstein-Zin遞歸效用,該遞歸效用在連續(xù)時間下將風險厭惡系數(shù)與消費的跨期替代彈性相分離,適用更為廣泛。我們考慮市場中的投資者不僅可以進行股票與無風險債券的交易,同時可以進行衍生品交易。由于資產(chǎn)過程會受到多種風險因素的影響,衍生產(chǎn)品的引入可以使得市場完備化。我們分別針對完全市場與不完全市場中(不進行衍生品交易)的模型進行研究,并在投資者的消費跨期替代彈性為1時,得到模型精確的解析解;消費跨期替代彈性不為1時,得到模型解析解的估計形式。由數(shù)值計算,我們發(fā)現(xiàn)在完全市場中,擴散風險與跳風險對應(yīng)的最優(yōu)風險暴露會顯著受到各自對應(yīng)的模糊厭惡程度的影響。在不完全市場中,擴散風險的模糊厭惡程度相比跳風險的模糊厭惡程度對最優(yōu)投資策略的影響更為顯著。更重要地,通過效用損失的分析,我們發(fā)現(xiàn)考慮模型中擴散風險的模糊厭惡性與參與衍生品交易,對于減少財富損失至關(guān)重要。
【學位單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：F224.32
【部分圖文】：

?秘?８８郵??圖３丄打（－）與ｒ的關(guān)系?圖３．２：?Ｇ（０）與ｒ的關(guān)系??由圖３．１觀察可知，隨著無風險收益率的増高，初始時刻所需資本金的注入逐漸減??少。這是合理的，因為隨著無風險利率的升高，資產(chǎn)的期望值也在逐漸增加，我們無需??注入更多的資本來達到財富的基準。更明顯地，由圖３．２，我們可以觀察到ｔ?＝?０時刻資??本流與無風險利率ｒ之間的遞減關(guān)系。另外，由圖３．１，我們可以看到在時間趨近于終??端時刻ｔ?＝?１時，資本流過程的值逐漸減少并趨向一致。可以認為，在資本流的控制作??用下，實際資產(chǎn)財富值逐漸貼近基準財富值，所需控制資金流在逐漸減少。??§３．３．２．２風險收益率／／與訂（．）的關(guān)系．??令＝?［０．１，０．２，０．３，０．０２］，如下圖像描述了資本流的均衡點過程??＃（？）與風險收益率／／之間的關(guān)系。??ｉ?ｉ?ｉ?Ｉ?Ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?＇?｜?戧?ｒ—ｉ—￣ｉ一￣ｉ￣￣Ｉｉ—ｉ￣ｉ?ｉ?：｜—￣￣ｉ￣ｉ￣￣ｉ￣￣！一￣�。椤椤�??欲．?Ｊ?＾??：￣嚴、：＼??觀?１?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?姻?￣￣１—■ＩＩ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ￣￣Ｉ一￣１一＾Ｉ￣Ｉ￣Ｉ￣Ｉ￣￣１＿１＿＿Ｉ一??〇?ｓ．１?Ｏｉ?Ｏｉ?Ｍ?Ｏｉ?ａｓ?１７?１８?０５?丨?Ｗ?Ｗ?Ｕ??＿）?郵??圖３．３：?＃（？）與ｐ的關(guān)系?圖３．４：打（０）與／ｉ的關(guān)系??由圖３．３

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２?３?４?５?６?７?８?９?１０?２?３?４?５?６?７?８?９?１０??圖６．１：完全市場與不完全市場下最優(yōu)風險暴露與風險厭惡參數(shù)７的關(guān)系（給定０＝?１．５??且也ｖ?＝?２）。圖（ａ）：藍色實線代表冇；紅色虛線代表圬；黃色點虛線代表砟。圖（ｂ）：??藍色實線代表升ｉＣ。??由圖６．１?（ａ）可以看出，風險因子你／，訪７與句的最優(yōu)風險暴露竓的與圬的??絕對值隨著風險厭惡參數(shù)１的遞増而下降。這種保守的行為可理解為風險厭惡的投資??者更傾向于承擔更少的風險，使得投資更加保守。同樣，由圖６．１?（ｂ）可看出，最優(yōu)股票??投資中ｅ也隨７的遞増而減小。??接下來，我們分別在完全市場與不完全市場下，對模糊厭惡參數(shù)對最優(yōu)風險暴露的??影響進行研宄與分析。??（ａ）?Ｃｏｍｐｌｅｔｅ?ｍａｒｋｅｔ，?（ｊ）?（ｂ）?Ｃｏｍｐｌｅｔｅ?ｍａｒｋｅｔ
【參考文獻】

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本文編號：2881784